Номер 3, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 97.

Условие.

Расскажите, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} $, и выполните преобразование (фрагмент 2).

Решение 4.

Как освободиться от иррациональности в знаменателе

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает преобразовать дробь так, чтобы в её знаменателе не содержалось знака корня (радикала). Это достигается путем умножения и числителя, и знаменателя дроби на одно и то же выражение, которое "убирает" корень из знаменателя. Данное преобразование опирается на основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое число, то значение дроби не изменится.

Если знаменатель имеет вид $c\sqrt{b}$, где $b>0$, то для избавления от иррациональности необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на множитель $\sqrt{b}$. В результате в знаменателе получится рациональное число, так как $c\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = c \cdot (\sqrt{b})^2 = c \cdot b$.

Выполнение преобразования (фрагмент 2)

Рассмотрим исходную дробь:

$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$

Знаменатель дроби $3\sqrt{3}$ содержит иррациональный множитель $\sqrt{3}$. Чтобы избавиться от него, умножим числитель и знаменатель нашей дроби на $\sqrt{3}$:

$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

Теперь выполним вычисления.

В числителе, используя свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$, получим:

$2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{5 \cdot 3} = 2\sqrt{15}$

В знаменателе, используя определение квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$, получим:

$3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\sqrt{15}}{9}$

В знаменателе полученной дроби стоит рациональное число 9. Преобразование выполнено.

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{9}$