Номер 2.132, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.132, страница 98.

Условие.

Преобразуйте выражение, используя формулы сокращённого умножения (2.132–2.133).

2.132 a) $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3});$

б) $(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1);$

в) $(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5});$

г) $(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3});$

д) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3});$

е) $(\sqrt{10} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{10}).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для преобразования выражения $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$ воспользуемся формулой сокращённого умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. В данном примере $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Подставив значения в формулу, получаем: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$. Ответ: 1

б) Выражение $(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)$ также преобразуется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Здесь $a = \sqrt{6}$ и $b = 1$. Выполняем вычисления: $(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$. Ответ: 5

в) Используем ту же формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ для выражения $(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})$. В этом случае $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{5}$. Тогда: $(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$. Ответ: 2

г) Для выражения $(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$ применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, где $a=4$ и $b=\sqrt{3}$. Производим вычисления: $(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$. Ответ: 13

д) Преобразуем выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. В этом примере $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$. Вычисление: $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$. Ответ: -1

е) В выражении $(\sqrt{10} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{10})$ для удобства применения формулы разности квадратов поменяем слагаемые в первой скобке местами, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется: $(\sqrt{11} + \sqrt{10})(\sqrt{11} - \sqrt{10})$. Теперь применяем формулу $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=\sqrt{11}$ и $b=\sqrt{10}$. Получаем: $(\sqrt{11} + \sqrt{10})(\sqrt{11} - \sqrt{10}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{10})^2 = 11 - 10 = 1$. Ответ: 1