Номер 2.130, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.130, страница 98.

Условие.

2.130 Упростите выражение:

а) $3\sqrt{3} + \sqrt{12}$;

б) $\sqrt{45} - 2\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{48} - 10\sqrt{3}$;

г) $4\sqrt{2} - \sqrt{50}$;

д) $\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{50}$;

е) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48}$;

ж) $\sqrt{8} + 2\sqrt{18} - \sqrt{72}$;

з) $2\sqrt{20} - \sqrt{45} - 2\sqrt{12}$;

и) $2\sqrt{28} - 0.5\sqrt{24} + 2\sqrt{7}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $3\sqrt{3} + \sqrt{12}$ вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{12}$.

Представим число 12 в виде произведения $4 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$3\sqrt{3} + \sqrt{12} = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$

Сложим коэффициенты при одинаковых корнях: $(3+2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Ответ: $5\sqrt{3}$

б) Для упрощения выражения $\sqrt{45} - 2\sqrt{5}$ вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{45}$.

Представим число 45 в виде произведения $9 \cdot 5$. Тогда $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\sqrt{45} - 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$

Выполним вычитание: $(3-2)\sqrt{5} = 1\sqrt{5} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

в) Для упрощения выражения $\sqrt{48} - 10\sqrt{3}$ вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{48}$.

Представим число 48 в виде произведения $16 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\sqrt{48} - 10\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$

Выполним вычитание: $(4-10)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

Ответ: $-6\sqrt{3}$

г) Для упрощения выражения $4\sqrt{2} - \sqrt{50}$ вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{50}$.

Представим число 50 в виде произведения $25 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$4\sqrt{2} - \sqrt{50} = 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$

Выполним вычитание: $(4-5)\sqrt{2} = -1\sqrt{2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$

д) Для упрощения выражения $\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{50}$ вынесем множители из-под знака корня в слагаемых $\sqrt{32}$ и $\sqrt{50}$.

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{50} = \sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$

Сложим и вычтем коэффициенты при одинаковых корнях: $(1 - 4 + 5)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

е) Для упрощения выражения $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48}$ вынесем множители из-под знака корня в слагаемых $\sqrt{27}$ и $\sqrt{48}$.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48} = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2(4\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 8\sqrt{3}$

Сложим и вычтем коэффициенты при одинаковых корнях: $(2 - 3 + 8)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.

Ответ: $7\sqrt{3}$

ж) Для упрощения выражения $\sqrt{8} + 2\sqrt{18} - \sqrt{72}$ вынесем множители из-под знака корня во всех слагаемых.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\sqrt{8} + 2\sqrt{18} - \sqrt{72} = 2\sqrt{2} + 2(3\sqrt{2}) - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$

Сложим и вычтем коэффициенты при одинаковых корнях: $(2 + 6 - 6)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

з) Для упрощения выражения $2\sqrt{20} - \sqrt{45} - 2\sqrt{12}$ вынесем множители из-под знака корня во всех слагаемых.

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$2\sqrt{20} - \sqrt{45} - 2\sqrt{12} = 2(2\sqrt{5}) - 3\sqrt{5} - 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми корнями:

$(4\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) - 4\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{5} - 4\sqrt{3} = \sqrt{5} - 4\sqrt{3}$.

Дальнейшее упрощение невозможно, так как подкоренные выражения различны.

Ответ: $\sqrt{5} - 4\sqrt{3}$

и) Для упрощения выражения $2\sqrt{28} - 0,5\sqrt{24} + 2\sqrt{7}$ вынесем множители из-под знака корня в слагаемых $2\sqrt{28}$ и $0,5\sqrt{24}$.

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$2\sqrt{28} - 0,5\sqrt{24} + 2\sqrt{7} = 2(2\sqrt{7}) - 0,5(2\sqrt{6}) + 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7} - \sqrt{6} + 2\sqrt{7}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми корнями:

$(4\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) - \sqrt{6} = (4+2)\sqrt{7} - \sqrt{6} = 6\sqrt{7} - \sqrt{6}$.

Дальнейшее упрощение невозможно, так как подкоренные выражения различны.

Ответ: $6\sqrt{7} - \sqrt{6}$