Номер 2.131, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.131, страница 98.

Условие.

2.131 РАССУЖДАЕМ Рациональным или иррациональным является значение выражения:

a) $10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300}$;

б) $\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27}$;

в) $3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$;

г) $\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3}?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, необходимо упростить каждое выражение. Если в результате упрощения все иррациональные части (корни из чисел, не являющихся полными квадратами) сокращаются и остается целое число или дробь, то значение выражения рационально. В противном случае — иррационально.

а) $10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300}$

Упростим слагаемое $\sqrt{300}$. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{300} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$10\sqrt{3} + 4 - 10\sqrt{3}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 4 = 0 + 4 = 4$.

Результатом является число 4. Так как 4 — это целое число, оно является рациональным.

Ответ: рациональное.

б) $\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27}$

Упростим корни $\sqrt{162}$ и $\sqrt{27}$.

Разложим подкоренные выражения на множители: $162 = 81 \cdot 2 = 9^2 \cdot 2$ и $27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3$.

Вынесем множители из-под знака корня: $\sqrt{162} = \sqrt{9^2 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$ и $\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения в выражение:

$9\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые:

$(9\sqrt{2} - 10\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} = -\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$.

В результате получилось выражение, содержащее иррациональные числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, которые не могут быть сокращены. Следовательно, значение выражения является иррациональным.

Ответ: иррациональное.

в) $3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$

Упростим корень $\sqrt{28}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{28} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Подставим упрощенное значение в выражение:

$3 \cdot (2\sqrt{7}) + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = 6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$

Приведем подобные слагаемые:

$(6\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) - 2\sqrt{5} = 8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.

Выражение содержит иррациональные числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$, которые не сокращаются. Следовательно, значение выражения является иррациональным.

Ответ: иррациональное.

г) $\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3}$

Упростим корень $\sqrt{48}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{48} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим упрощенное значение в выражение:

$4\sqrt{3} - 5 - 4\sqrt{3}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) - 5 = 0 - 5 = -5$.

Результатом является число -5. Так как -5 — это целое число, оно является рациональным.

Ответ: рациональное.