Номер 2.138, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.138, страница 99.

Условие.

2.138 Найдите площадь прямоугольника, если:

а) его периметр равен 6 см, а одна из сторон - $\sqrt{2}$ см;

б) его периметр равен 14 см, а одна из сторон - $3 + \sqrt{2}$ см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ – его стороны.
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

По условию, периметр $P = 6$ см, а одна из сторон, например $a$, равна $\sqrt{2}$ см.

Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти вторую сторону $b$:
$6 = 2(\sqrt{2} + b)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$3 = \sqrt{2} + b$
Отсюда находим $b$:
$b = 3 - \sqrt{2}$ см.

Теперь, зная обе стороны, можем вычислить площадь прямоугольника:
$S = a \cdot b = \sqrt{2} \cdot (3 - \sqrt{2})$
Раскроем скобки:
$S = 3\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} - 2$ см².

Ответ: $3\sqrt{2} - 2$ см².

б)

По условию, периметр $P = 14$ см, а одна из сторон, например $a$, равна $3 + \sqrt{2}$ см.

Найдем вторую сторону $b$ из формулы периметра:
$14 = 2((3 + \sqrt{2}) + b)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$7 = 3 + \sqrt{2} + b$
Отсюда находим $b$:
$b = 7 - (3 + \sqrt{2}) = 7 - 3 - \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь прямоугольника, перемножив его стороны:
$S = a \cdot b = (3 + \sqrt{2}) \cdot (4 - \sqrt{2})$
Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:
$S = 3 \cdot 4 - 3 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 4 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$
$S = 12 - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$S = (12 - 2) + (4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 10 + \sqrt{2}$ см².

Ответ: $10 + \sqrt{2}$ см².