Номер 2.143, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.143, страница 99.

Условие.

2.143 Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):

а) $\sqrt{49a^2}$;

б) $\sqrt{3n^2}$;

в) $\sqrt{8x^2}$;

г) $\sqrt{\frac{m^2}{4}}$;

д) $\sqrt{\frac{y^2}{2}}$;

е) $\sqrt{12a^3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{49a^2}$, применим свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$).

$\sqrt{49a^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^2}$

Квадратный корень из $49$ равен $7$. Квадратный корень из $a^2$ равен $|a|$. Поскольку по условию $a$ - положительное число ($a > 0$), то $|a| = a$.

Следовательно, $\sqrt{49a^2} = 7 \cdot a = 7a$.

Ответ: $7a$

б) Упростим выражение $\sqrt{3n^2}$, используя свойство корня из произведения.

$\sqrt{3n^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{n^2}$

Поскольку по условию $n > 0$, то $\sqrt{n^2} = |n| = n$. Множитель $\sqrt{3}$ упростить нельзя, так как 3 не является полным квадратом.

Таким образом, $\sqrt{3n^2} = \sqrt{3} \cdot n = n\sqrt{3}$.

Ответ: $n\sqrt{3}$

в) Для упрощения выражения $\sqrt{8x^2}$ разложим подкоренное выражение на множители, из которых можно извлечь корень.

Число $8$ можно представить как $8 = 4 \cdot 2$.

$\sqrt{8x^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2}$

Извлекаем корни из множителей, являющихся полными квадратами: $\sqrt{4} = 2$. Так как $x > 0$, то $\sqrt{x^2} = x$.

Собирая все вместе, получаем: $2 \cdot x \cdot \sqrt{2} = 2x\sqrt{2}$.

Ответ: $2x\sqrt{2}$

г) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{m^2}{4}}$, воспользуемся свойством корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (для $x \ge 0, y > 0$).

$\sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{4}}$

Поскольку по условию $m > 0$, то $\sqrt{m^2} = |m| = m$. Квадратный корень из 4 равен 2.

В результате получаем: $\frac{m}{2}$.

Ответ: $\frac{m}{2}$

д) Упростим выражение $\sqrt{\frac{y^2}{2}}$, используя свойство корня из частного.

$\sqrt{\frac{y^2}{2}} = \frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{2}}$

Так как по условию $y > 0$, то $\sqrt{y^2} = y$.

Получаем выражение $\frac{y}{\sqrt{2}}$. Принято избавляться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$.

$\frac{y}{\sqrt{2}} = \frac{y \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{y\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{y\sqrt{2}}{2}$

е) Для упрощения выражения $\sqrt{12a^3}$ вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами.

Представим $12$ как $4 \cdot 3$, а $a^3$ как $a^2 \cdot a$.

$\sqrt{12a^3} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{(4 \cdot a^2) \cdot (3a)}$

Используя свойство корня из произведения, получим:

$\sqrt{4a^2} \cdot \sqrt{3a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3a}$

Поскольку по условию $a > 0$, то $\sqrt{a^2} = a$. Также $\sqrt{4} = 2$.

В итоге получаем: $2 \cdot a \cdot \sqrt{3a} = 2a\sqrt{3a}$.

Ответ: $2a\sqrt{3a}$