Номер 2.149, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.149, страница 100.

Условие.

2.149 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} = 3;$

б) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2;$

в) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать равенство $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3+\sqrt{6}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{6}} = 3$, преобразуем левую часть. Воспользуемся свойством корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Сгруппируем последние два множителя под одним корнем:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})}$

Применим формулу разности квадратов для выражения в скобках, где $x=3$ и $y=\sqrt{6}$:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{9-6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

Вычислим полученное произведение:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$

Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.

Ответ: $3=3$.

б) Докажем равенство $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = 2$. Будем последовательно упрощать левую часть, начиная с последних двух множителей, используя те же свойство корней и формулу разности квадратов.

1. Сгруппируем последние два множителя:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}$

Применяем разность квадратов, где $x=2$ и $y=\sqrt{2+\sqrt{2}}$:

$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2-\sqrt{2}}$

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}$

3. Снова сгруппируем последние два множителя:

$\sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$

Применяем разность квадратов, где $x=2$ и $y=\sqrt{2}$:

$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$

4. Подставим результат в выражение:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.

Ответ: $2=2$.

в) Докажем равенство $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = 1$. Решение аналогично предыдущему пункту.

1. Сгруппируем последние два множителя, используя формулу разности квадратов:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2}$

$= \sqrt{4 - (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

2. Подставим результат в выражение:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

3. Снова сгруппируем последние два множителя:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2}$

$= \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$

4. Подставим результат в выражение:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

5. Применим разность квадратов в последний раз:

$\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$

Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.

Ответ: $1=1$.