Номер 2.153, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.153, страница 101.

Условие.

2.153 Упростите выражение:

а) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$;

б) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для знаменателя:

$(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} + \frac{1 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5}) + (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{1}$

Упростим числитель:

$\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{5} = 2\sqrt{6}$.

Таким образом, значение выражения равно $2\sqrt{6}$.

Ответ: $2\sqrt{6}$.

б) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$.

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.

Приводим дроби к общему знаменателю и выполняем вычитание:

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} - \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{1}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$.

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Теперь подставим полученные выражения в числитель:

$(5 - 2\sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} = -4\sqrt{6}$.

Таким образом, значение выражения равно $-4\sqrt{6}$.

Ответ: $-4\sqrt{6}$.