Номер 2.158, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.158, страница 101.

Условие.

2.158 Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):

a) $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Упростим выражение $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a}$.

Поскольку по условию $a$ и $b$ — положительные числа, мы можем использовать свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ и свойство степени $x = (\sqrt{x})^2$ для $x > 0$.

Преобразуем выражение по частям:

$\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{a}$

Упростим третье слагаемое, используя тот факт, что $a = (\sqrt{a})^2$:

$\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{a} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

Теперь подставим упрощенное слагаемое обратно в выражение:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

Второе и третье слагаемые являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + (\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}) = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + 0 = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Для приведения ответа к стандартному виду избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$

Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{b}$

б) Упростим выражение $\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y}$.

Так как по условию $x$ и $y$ — положительные числа, мы можем преобразовать каждое слагаемое.

1. $\sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. $\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$

3. $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

4. $\frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{1}{\sqrt{y}}$

Подставим преобразованные слагаемые в исходное выражение:

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}}$

Сгруппируем подобные члены:

$(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}) + (\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y}})$

Выполним вычисления:

$0 + \frac{1+1}{\sqrt{y}} = \frac{2}{\sqrt{y}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив дробь на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$:

$\frac{2}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{y}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{y}}{y}$