Номер 2.164, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.164, страница 102.

Условие.

2.164 ИССЛЕДУЕМ

1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: $2\frac{2}{3}, 3\frac{3}{8}, 4\frac{4}{15}, 5\frac{5}{24}, \ldots$

2) Проверьте равенства: $\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Составьте несколько аналогичных равенств.

3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Рассмотрим данную последовательность смешанных чисел: $2\frac{2}{3}, 3\frac{3}{8}, 4\frac{4}{15}, 5\frac{5}{24}, \ldots$

Для того чтобы найти закономерность, проанализируем отдельно целые и дробные части каждого члена последовательности. Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.

Целая часть n-го члена, обозначим ее $I_n$, увеличивается на 1 с каждым шагом: $I_1 = 2, I_2 = 3, I_3 = 4, I_4 = 5, \ldots$. Можно сделать вывод, что формула для целой части n-го члена: $I_n = n+1$.

Дробная часть n-го члена, обозначим ее $F_n = \frac{C_n}{D_n}$, также изменяется по определенному правилу.

Числитель дробной части $C_n$ равен целой части: $C_1 = 2, C_2 = 3, C_3 = 4, C_4 = 5, \ldots$. Таким образом, $C_n = n+1$.

Знаменатель дробной части $D_n$ представляет собой следующую последовательность: $3, 8, 15, 24, \ldots$. Заметим, что каждый знаменатель на 1 меньше квадрата соответствующей целой части (или числителя):

• $D_1 = 3 = 2^2 - 1 = (I_1)^2 - 1$
• $D_2 = 8 = 3^2 - 1 = (I_2)^2 - 1$
• $D_3 = 15 = 4^2 - 1 = (I_3)^2 - 1$
• $D_4 = 24 = 5^2 - 1 = (I_4)^2 - 1$

Следовательно, формула для знаменателя: $D_n = (n+1)^2 - 1$.

Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности: $a_n = (n+1) \frac{n+1}{(n+1)^2 - 1}$.

Теперь найдем следующие три члена последовательности, которые соответствуют $n=5, n=6, n=7$.

• При $n=5$: целая часть $I_5 = 5+1=6$. Дробная часть $F_5 = \frac{6}{6^2 - 1} = \frac{6}{35}$. Пятый член: $6\frac{6}{35}$.
• При $n=6$: целая часть $I_6 = 6+1=7$. Дробная часть $F_6 = \frac{7}{7^2 - 1} = \frac{7}{48}$. Шестой член: $7\frac{7}{48}$.
• При $n=7$: целая часть $I_7 = 7+1=8$. Дробная часть $F_7 = \frac{8}{8^2 - 1} = \frac{8}{63}$. Седьмой член: $8\frac{8}{63}$.

Ответ: Следующие три числа в последовательности: $6\frac{6}{35}, 7\frac{7}{48}, 8\frac{8}{63}$.

2)

Проверим данные равенства, преобразуя левую и правую части каждого из них.

Для равенства $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$:

Левая часть: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.

Правая часть: $2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.

Левая часть равна правой, равенство верно.

Для равенства $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$:

Левая часть: $\sqrt{3\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8 + 3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$.

Правая часть: $3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$.

Левая часть равна правой, равенство верно.

Для равенства $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$:

Левая часть: $\sqrt{4\frac{4}{15}} = \sqrt{4 + \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 15 + 4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.

Правая часть: $4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4^2 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.

Левая часть равна правой, равенство верно.

Все равенства верны. Они составлены для чисел из последовательности, рассмотренной в пункте 1. Составим несколько аналогичных равенств для следующих членов последовательности: $5\frac{5}{24}$, $6\frac{6}{35}$ и $7\frac{7}{48}$.

Ответ: $\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$, $\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}$, $\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}$.

3)

Обобщим наблюдаемую закономерность. Все числа в последовательности и равенства построены по одному и тому же принципу. Если обозначить целую часть числа буквой $a$ (где $a$ - целое число, $a \ge 2$), то дробная часть числа равна $\frac{a}{a^2-1}$.

Смешанное число имеет вид $a \frac{a}{a^2-1}$, что равносильно $a + \frac{a}{a^2-1}$.

Равенство, которое мы проверяли и составляли, имеет вид: корень из смешанного числа равен его целой части, умноженной на корень из его дробной части.

Таким образом, соответствующее равенство в буквенном виде:

$\sqrt{a + \frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$

Докажем это равенство для любого целого $a \ge 2$.

Доказательство:

1. Преобразуем левую часть равенства. Приведем выражение под корнем к общему знаменателю:

$\sqrt{a + \frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a(a^2-1) + a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3 - a + a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}$.

2. Преобразуем правую часть равенства. Так как по условию $a \ge 2$, то $a$ - положительное число, и мы можем внести его под знак корня, предварительно возведя в квадрат:

$a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}$.

3. Сравнивая результаты преобразований, видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}$

Следовательно, исходное равенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Соответствующее равенство в буквенном виде, верное для любого целого $a \ge 2$: $\sqrt{a + \frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$.