Номер 2, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 104.

Условие.

1) При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\sqrt{a}$?

выражение $\sqrt[3]{a}$?

2) Какие из выражений не имеют смысла: $\sqrt{10}$; $\sqrt[3]{15}$; $\sqrt[3]{-100}$; $\sqrt{-100}$; $\sqrt[3]{-50}$; $-\sqrt{50}$?

Решение 4.

1)

Разберем условия, при которых каждое из выражений имеет смысл в области действительных чисел.

Выражение $\sqrt{a}$ является арифметическим квадратным корнем. По определению, квадратный корень (корень четной степени) из числа $a$ определен только в том случае, если подкоренное выражение (радиканд) $a$ является неотрицательным. Таким образом, для выражения $\sqrt{a}$ должно выполняться неравенство: $a \ge 0$.

Выражение $\sqrt[3]{a}$ является кубическим корнем. Корень нечетной степени, в отличие от корня четной степени, определен для любого действительного числа $a$, как положительного, так и отрицательного, а также для нуля. Например, $\sqrt[3]{-27} = -3$, потому что $(-3)^3 = -27$. Следовательно, выражение $\sqrt[3]{a}$ имеет смысл при любом действительном значении $a$.

Ответ: Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при $a \ge 0$. Выражение $\sqrt[3]{a}$ имеет смысл при любых действительных значениях $a$ (то есть, $a \in \mathbb{R}$).

2)

Чтобы определить, какие из данных выражений не имеют смысла, применим правила, описанные выше. Мы должны проверить знак подкоренного выражения для корней четной степени (квадратных корней).

Проанализируем каждое выражение:
• $\sqrt{10}$: имеет смысл, так как подкоренное выражение $10$ положительно.
• $\sqrt[3]{15}$: имеет смысл, так как это корень нечетной степени, который определен для любого действительного числа.
• $\sqrt[3]{-100}$: имеет смысл, так как это корень нечетной степени.
• $\sqrt{-100}$: не имеет смысла в области действительных чисел, так как подкоренное выражение $-100$ отрицательно, а корень является квадратным (четной степени).
• $\sqrt[3]{-50}$: имеет смысл, так как это корень нечетной степени.
• $-\sqrt{50}$: имеет смысл. Здесь сначала вычисляется $\sqrt{50}$ (что возможно, так как $50 > 0$), а затем результат берется с противоположным знаком.

Таким образом, единственное выражение, не имеющее смысла, — это $\sqrt{-100}$.

Ответ: $\sqrt{-100}$.