Номер 2.169, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.169, страница 105.

Условие.

2.169 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ

Постройте график зависимости $y = \sqrt[3]{x}$. Для этого:

1) составьте таблицу значений $\sqrt[3]{x}$ для $x = 0; 0,5; 1; 2; \dots; 8$ (приближённые значения $\sqrt[3]{x}$ берите с одним знаком после запятой);

2) составьте таблицу для противоположных (отрицательных) значений $x$;

3) отметьте в координатной плоскости точки с координатами $(x; \sqrt[3]{x})$ и соедините их плавной линией;

4) опишите свойства графика зависимости $y = \sqrt[3]{x}$ (в качестве образца используйте описание свойств графика зависимости $y = \sqrt{x}$ на с. 86).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) составьте таблицу значений $\sqrt[3]{x}$ для $x = 0; 0,5; 1; 2; ...; 8$ (приближённые значения $\sqrt[3]{x}$ берите с одним знаком после запятой);

Вычислим значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ для заданных неотрицательных значений $x$, округляя результаты до одного знака после запятой. Для большей наглядности при построении графика добавим также точку $x=4$.

• При $x = 0$, $y = \sqrt[3]{0} = 0$.
• При $x = 0,5$, $y = \sqrt[3]{0,5} \approx 0,7937 \approx 0,8$.
• При $x = 1$, $y = \sqrt[3]{1} = 1$.
• При $x = 2$, $y = \sqrt[3]{2} \approx 1,2599 \approx 1,3$.
• При $x = 4$, $y = \sqrt[3]{4} \approx 1,5874 \approx 1,6$.
• При $x = 8$, $y = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ:

$x$	0	0,5	1	2	4	8
$y = \sqrt[3]{x}$	0	0,8	1	1,3	1,6	2

2) составьте таблицу для противоположных (отрицательных) значений $x$;

Функция кубического корня является нечетной, то есть для любого $x$ выполняется равенство $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. Используем это свойство для вычисления значений функции для отрицательных $x$, соответствующих значениям из предыдущего пункта.

• При $x = -0,5$, $y = \sqrt[3]{-0,5} = -\sqrt[3]{0,5} \approx -0,8$.
• При $x = -1$, $y = \sqrt[3]{-1} = -1$.
• При $x = -2$, $y = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2} \approx -1,3$.
• При $x = -4$, $y = \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4} \approx -1,6$.
• При $x = -8$, $y = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Ответ:

$x$	-8	-4	-2	-1	-0,5
$y = \sqrt[3]{x}$	-2	-1,6	-1,3	-1	-0,8

3) отметьте в координатной плоскости точки с координатами $(x; \sqrt[3]{x})$ и соедините их плавной линией;

Отметим точки из обеих таблиц на координатной плоскости: $(-8; -2)$, $(-4; -1,6)$, $(-2; -1,3)$, $(-1; -1)$, $(-0,5; -0,8)$, $(0; 0)$, $(0,5; 0,8)$, $(1; 1)$, $(2; 1,3)$, $(4; 1,6)$, $(8; 2)$. Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = \sqrt[3]{x}$.

Ответ:

4) опишите свойства графика зависимости $y = \sqrt[3]{x}$ (в качестве образца используйте описание свойств графика зависимости $y = \sqrt{x}$ на с. 86).

Основные свойства функции $y = \sqrt[3]{x}$ и ее графика:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: функция может принимать любые действительные значения, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. График функции симметричен относительно начала координат.
4. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$. График пересекает оси координат в единственной точке $(0; 0)$, которая является началом координат.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
   • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
   График расположен в первой и третьей координатных четвертях.
6. Промежутки монотонности: функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
7. Экстремумы: функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.
8. Выпуклость:
   • при $x > 0$ график функции является выпуклым вверх;
   • при $x < 0$ график функции является выпуклым вниз.
   Точка $(0;0)$ является точкой перегиба графика.

Ответ: Свойства функции и ее графика перечислены в списке выше.