Номер 2.175, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.175, страница 107.

Условие.

2.175 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Нужно изготовить воздушный шар объёмом $8 \text{ м}^3$.

Сколько метров ткани шириной $2 \text{ м}$ потребуется для изготовления этого шара?

(При расчётах считайте $\pi \approx 3$; формула площади поверхности шара $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.) Сделайте грубую прикидку, выразив результат в целых метрах.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, сколько метров ткани потребуется, необходимо последовательно выполнить несколько вычислений. Сначала, используя объём шара, мы найдем его радиус. Затем, зная радиус, вычислим площадь поверхности шара. Эта площадь и будет равна площади необходимого куска ткани. Наконец, разделив площадь ткани на её ширину, мы получим искомую длину.

1. Нахождение радиуса шара (R)

Формула для вычисления объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
В условии задачи даны объём $V = 8$ м³ и приближенное значение $\pi \approx 3$. Подставим эти данные в формулу:

$8 = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot R^3$

После сокращения числа 3, уравнение упрощается:

$8 = 4R^3$

Теперь найдём куб радиуса:

$R^3 = \frac{8}{4} = 2$

Следовательно, радиус шара равен кубическому корню из двух: $R = \sqrt[3]{2}$ м.

2. Вычисление площади поверхности шара (S)

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.
Подставим в неё значение $\pi \approx 3$ и найденный радиус $R = \sqrt[3]{2}$ м:

$S = 4 \cdot 3 \cdot (\sqrt[3]{2})^2 = 12 \cdot \sqrt[3]{4}$ м².

Так как в задаче требуется сделать "грубую прикидку", нам нужно оценить значение $\sqrt[3]{4}$. Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Значит, $\sqrt[3]{4}$ находится между 1 и 2. Для более точной оценки можно заметить, что $1.6^3 = 4.096$, что очень близко к 4. Поэтому для грубого расчёта примем $\sqrt[3]{4} \approx 1.6$.

Теперь оценим площадь поверхности:

$S \approx 12 \cdot 1.6 = 19.2$ м².

3. Расчёт длины ткани (L)

Площадь необходимой ткани равна площади поверхности шара, то есть $S_{ткани} \approx 19.2$ м². Ткань представляет собой прямоугольник с шириной $w = 2$ м и неизвестной длиной $L$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{ткани} = L \cdot w$.

Выразим и найдём длину $L$:

$L = \frac{S_{ткани}}{w} \approx \frac{19.2}{2} = 9.6$ м.

В задаче просят выразить результат в целых метрах. Округляем полученное значение 9.6 м до ближайшего целого числа, что даёт 10 м.

Ответ: 10 метров.