Номер 2.180, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.180, страница 109.

Условие.

2.180 a) $\sqrt{17-12\sqrt{2}};$

б) $2\sqrt{14+6\sqrt{5}}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$, мы попытаемся представить подкоренное выражение $17 - 12\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для этого нам нужно найти такие числа $a$ и $b$, чтобы выполнялись два условия:

1. $a^2 + b^2 = 17$
2. $2ab = 12\sqrt{2}$, что эквивалентно $ab = 6\sqrt{2}$

Попробуем подобрать такие числа. Пусть одно из них содержит $\sqrt{2}$. Рассмотрим пару $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$.

Проверим их произведение: $a \cdot b = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Условие 2 выполняется.

Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$. Условие 1 также выполняется.

Таким образом, мы можем записать подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$17 - 12\sqrt{2} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = (3 - 2\sqrt{2})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому:

$\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = |3 - 2\sqrt{2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нам нужно определить знак выражения $3 - 2\sqrt{2}$. Сравним числа $3$ и $2\sqrt{2}$ путем сравнения их квадратов:

$3^2 = 9$

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Поскольку $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$, а значит, разность $3 - 2\sqrt{2}$ положительна.

Следовательно, $|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$.

б)

Рассмотрим выражение $2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}$. Упростим его в несколько шагов.

Шаг 1: Упрощение внутреннего корня $\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$.

Представим подкоренное выражение $14 + 6\sqrt{5}$ в виде квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 14$ и $2ab = 6\sqrt{5}$ (или $ab = 3\sqrt{5}$).

Легко подобрать, что $a=3$ и $b=\sqrt{5}$ удовлетворяют этим условиям:

$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$.

Таким образом, $14 + 6\sqrt{5} = (3 + \sqrt{5})^2$.

Тогда $\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = |3 + \sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5}$, так как оба слагаемых положительны.

Шаг 2: Подстановка упрощенного выражения обратно.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = 2\sqrt{3 + \sqrt{5}}$.

Шаг 3: Упрощение оставшегося выражения.

Внесем множитель 2 под знак корня:

$2\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{2^2 \cdot (3 + \sqrt{5})} = \sqrt{4(3 + \sqrt{5})} = \sqrt{12 + 4\sqrt{5}}$.

Теперь упростим получившийся корень $\sqrt{12 + 4\sqrt{5}}$, снова используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Ищем такие $x$ и $y$, что $x^2 + y^2 = 12$ и $2xy = 4\sqrt{5}$ (или $xy = 2\sqrt{5}$).

Рассмотрим пару $x=\sqrt{10}$ и $y=\sqrt{2}$.

Проверим произведение: $x \cdot y = \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Условие выполняется.

Проверим сумму квадратов: $x^2 + y^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{2})^2 = 10 + 2 = 12$. Условие также выполняется.

Значит, $12 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{10} + \sqrt{2})^2$.

Окончательно получаем:

$\sqrt{12 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{10} + \sqrt{2}| = \sqrt{10} + \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{10} + \sqrt{2}$.