Номер 2.179, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.179, страница 109.

Условие.

2.179 a) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$;

Б) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$;

В) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$;

Г) $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражений такого вида используется формула выделения полного квадрата под корнем, а именно формула квадрата суммы $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$. Идея состоит в том, чтобы найти два таких числа $x$ и $y$, что их сумма равна целому слагаемому под корнем, а их произведение равно числу под внутренним корнем.

В выражении $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7, а произведение — 10. Методом подбора легко находим эти числа: 5 и 2. Действительно, $5 + 2 = 7$ и $5 \cdot 2 = 10$.

Теперь мы можем переписать подкоренное выражение:

$7 + 2\sqrt{10} = (5 + 2) + 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$.

Подставляем это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{2}|$.

Поскольку $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$ — положительные числа, их сумма также положительна, поэтому модуль можно опустить.

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{2}$.

б) В этом случае мы имеем дело с разностью под корнем $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$. Мы будем использовать формулу квадрата разности: $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2\sqrt{xy}$ (при условии $x > y$).

Как и в предыдущем пункте, числа, сумма которых равна 7, а произведение — 10, это 5 и 2. Выбираем $x=5$ и $y=2$.

Перепишем подкоренное выражение:

$7 - 2\sqrt{10} = (5 + 2) - 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$.

Подставляем в исходное выражение:

$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}|$.

Так как $5 > 2$, то $\sqrt{5} > \sqrt{2}$, и разность $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ является положительным числом. Значит, модуль можно опустить.

Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{2}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 8, а произведение — 15. Этими числами являются 5 и 3, так как $5 + 3 = 8$ и $5 \cdot 3 = 15$.

Используя формулу квадрата суммы, получаем:

$8 + 2\sqrt{15} = (5 + 3) + 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$.

Следовательно:

$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{3}| = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{3}$.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$. Как и в пункте в), числа, дающие в сумме 8 и в произведении 15, это 5 и 3.

Используя формулу квадрата разности, получаем:

$8 - 2\sqrt{15} = (5 + 3) - 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$.

Следовательно:

$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}|$.

Поскольку $5 > 3$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$, и разность $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ положительна, поэтому модуль можно убрать.

Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.