Номер 2.183, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.183, страница 109.

Условие.

2.183 Докажите формулу

$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}$, где $b > 0$.

Примените эту формулу для упрощения выражения

$\sqrt{57-12\sqrt{15}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Докажите формулу

Для доказательства формулы $ \sqrt{a - b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $ возведем в квадрат ее правую часть. Для корректности всех преобразований должны выполняться условия: $c \ge 0$, $a - b\sqrt{c} \ge 0$ и $a^2 - b^2c \ge 0$. Из $a \ge b\sqrt{c}$ и $b > 0$, $c \ge 0$ следует, что $a > 0$, а также $a^2 \ge b^2c$. Это обеспечивает существование всех корней в выражении.

Обозначим правую часть за $R$:
$ R = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $

Возводим $R$ в квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$ R^2 = \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}}\right)^2 $

Упростим выражение:

$ R^2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} - 2\sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c})}{4}} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} $

Сгруппируем первое и третье слагаемые, а во втором слагаемом применим формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ под корнем:

$ R^2 = \left(\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right) - 2\sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b^2c)}{4}} $

$ R^2 = \frac{2a}{2} - 2\sqrt{\frac{b^2c}{4}} = a - 2\frac{\sqrt{b^2c}}{2} = a - |b|\sqrt{c} $

Согласно условию, $b>0$, следовательно $|b|=b$.

$ R^2 = a - b\sqrt{c} $

Так как $\sqrt{a^2 - b^2c} \ge 0$, то $a + \sqrt{a^2 - b^2c} \ge a - \sqrt{a^2 - b^2c}$, поэтому правая часть исходного равенства ($R$) является неотрицательной. Следовательно, из $R^2 = a - b\sqrt{c}$ следует $R = \sqrt{a - b\sqrt{c}}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

Примените эту формулу для упрощения выражения $\sqrt{57-12\sqrt{15}}$

Сопоставим данное выражение с левой частью формулы $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$.
В нашем случае $a=57$, $b=12$, $c=15$. Условие $b>0$ выполнено, так как $12 > 0$.

Подставляем эти значения в правую часть доказанной формулы:

$ \sqrt{57-12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + \sqrt{57^2 - 12^2 \cdot 15}}{2}} - \sqrt{\frac{57 - \sqrt{57^2 - 12^2 \cdot 15}}{2}} $

Сначала вычислим значение выражения под внутренним квадратным корнем, $a^2-b^2c$:

$ 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 144 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089 $

Теперь извлечем корень из полученного числа:

$ \sqrt{1089} = 33 $

Подставим это значение обратно в основное выражение:

$ \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} - \sqrt{\frac{57 - 33}{2}} = \sqrt{\frac{90}{2}} - \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} - \sqrt{12} $

Упростим полученные иррациональные числа, вынеся множители из-под знака корня:

$ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $

Таким образом, окончательный результат:

$ 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} $

Ответ: $3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$.