Номер 6, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 2. Квадратные корни - номер 6, страница 110.

Условие.

6 Сколько корней имеет уравнение $x^2 = a$, если: $a > 0$; $a = 0$; $a < 0$?

Решите уравнение: $x^2 = 16$; $x^2 = 10$; $x^2 = 0$; $x^2 = -9$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Рассмотрим уравнение вида $x^2 = a$ и количество его корней в зависимости от значения $a$.

$a > 0$:
Если $a$ — положительное число, уравнение $x^2 = a$ имеет два различных действительных корня. Это следует из того, что квадрат как положительного, так и отрицательного числа является положительным. Чтобы найти корни, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \pm\sqrt{a}$
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.
Ответ: два корня.

$a = 0$:
Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это само число 0.
$x = \sqrt{0}$
$x = 0$
Уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: один корень.

$a < 0$:
Если $a$ — отрицательное число, уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$) и не может быть равен отрицательному числу $a$.
Ответ: нет корней.

---

Теперь решим предложенные уравнения, используя эти правила.

$x^2 = 16$:
В этом уравнении $a = 16$, что больше нуля ($a > 0$), значит, оно имеет два корня.
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Ответ: $x = \pm 4$.

$x^2 = 10$:
Здесь $a = 10$, что также больше нуля ($a > 0$), поэтому уравнение имеет два корня.
$x = \pm\sqrt{10}$
Так как 10 не является точным квадратом целого числа, корни являются иррациональными.
Ответ: $x = \pm\sqrt{10}$.

$x^2 = 0$:
Здесь $a = 0$, следовательно, уравнение имеет один корень.
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

$x^2 = -9$:
Здесь $a = -9$, что меньше нуля ($a < 0$). Как было объяснено ранее, квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет корней.