Номер 9, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 2. Квадратные корни - номер 9, страница 110.

Условие.

9 Объясните:

а) как вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{128}$;

б) как внести множитель под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) как вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{128}$;

Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения, в котором один из множителей является точным квадратом какого-либо числа.

1. Найдём разложение числа 128 на множители. Нужно найти самый большой множитель, который является полным квадратом. Разложим 128 на простые множители: $128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 8^2$. Видно, что 64 — это полный квадрат числа 8.
2. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0$, $b \ge 0$).
3. Подставим разложение в исходное выражение: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2}$.
4. Применим свойство корня: $\sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2}$.
5. Вычислим значение корня из 64: $\sqrt{64} = 8$.
6. В итоге получаем: $8 \cdot \sqrt{2}$, что обычно записывается как $8\sqrt{2}$.

Ответ: $8\sqrt{2}$

б) как внести множитель под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$;

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно выполнить действие, обратное вынесению. Множитель, стоящий перед корнем, необходимо возвести в квадрат и записать его под знаком корня в качестве множителя.

1. Представим множитель 5 в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.
2. Заменим в исходном выражении $5\sqrt{3}$ число 5 на полученный корень: $\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}$.
3. Используем свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (при $a \ge 0$, $b \ge 0$).
4. Объединим выражения под одним знаком корня: $\sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3}$.
5. Выполним умножение под корнем: $25 \cdot 3 = 75$.
6. В итоге получаем: $\sqrt{75}$.

Ответ: $\sqrt{75}$