Номер 2, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 110.

Условие.

2 Существует ли рациональное число, квадрат которого равен 2?

К какому классу чисел относится число $\sqrt{2}$? Закончите равенство $(\sqrt{2})^2 = \dots$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Существует ли рациональное число, квадрат которого равен 2? Докажем методом от противного. Предположим, что такое рациональное число существует. Рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число, причём $p$ и $q$ не имеют общих делителей, кроме 1.
По условию, квадрат этого числа равен 2:
$(\frac{p}{q})^2 = 2$
$\frac{p^2}{q^2} = 2$
$p^2 = 2q^2$
Из этого равенства следует, что $p^2$ — чётное число (так как оно является произведением целого числа $q^2$ и 2). Если квадрат числа ($p^2$) является чётным, то и само число ($p$) тоже должно быть чётным. (Если бы $p$ было нечётным, то и $p^2$ было бы нечётным).
Поскольку $p$ — чётное, его можно представить в виде $p = 2k$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это выражение в наше равенство $p^2 = 2q^2$:
$(2k)^2 = 2q^2$
$4k^2 = 2q^2$
Разделим обе части на 2:
$2k^2 = q^2$
Это равенство показывает, что $q^2$ также является чётным числом, а значит, и само число $q$ должно быть чётным.
Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ являются чётными числами. Это означает, что у них есть общий делитель 2. Но это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.
Полученное противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным.
Ответ: Нет, такого рационального числа не существует.

К какому классу чисел относится число $\sqrt{2}$? Число, квадрат которого равен 2, обозначается как $\sqrt{2}$. Как было доказано в предыдущем пункте, это число не является рациональным, так как его нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$. Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными. Таким образом, $\sqrt{2}$ — это иррациональное число. Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных (или вещественных) чисел.
Ответ: Число $\sqrt{2}$ относится к классу иррациональных чисел.

Закончите равенство $(\sqrt{2})^2 = \ldots$ По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt{a}$) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. В данном случае, $\sqrt{2}$ — это число, которое при возведении в квадрат даёт 2. Следовательно, операция возведения в квадрат является обратной к операции извлечения корня.
Ответ: $(\sqrt{2})^2 = 2$.