Номер 2.181, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.181, страница 109.

Условие.

2.181 Докажите формулу

$\sqrt{a+b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}$, где $b > 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного тождества возведем в квадрат его правую часть и покажем, что она равна подкоренному выражению левой части. Обозначим правую часть как $R$:

$$ R = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $$

Отметим, что для корректности всех выражений необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Это требует выполнения условий: $c \ge 0$, $a+b\sqrt{c} \ge 0$ и $a^2 - b^2c \ge 0$. Из последнего условия $a^2 \ge b^2c$ следует $|a| \ge b\sqrt{c}$ (так как $b > 0$). Если предположить, что $a \ge 0$, то все выражения под корнями в правой части также будут неотрицательны. Если $a < 0$, то из $|a| \ge b\sqrt{c}$ следует $-a \ge b\sqrt{c}$, что приводит к $a+b\sqrt{c} \le 0$. Учитывая требование $a+b\sqrt{c} \ge 0$, это возможно только если $a+b\sqrt{c}=0$, что является тривиальным случаем. Поэтому будем считать, что $a \ge 0$, и все подкоренные выражения определены и неотрицательны.

Возведем $R$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$$ R^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 $$

Найдем сумму первого и третьего слагаемых:

$$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c} + a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a $$

Теперь преобразуем второе слагаемое (удвоенное произведение):

$$ 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} \cdot \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c})}{4}} $$

Применим к числителю подкоренного выражения формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$$ (a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c}) = a^2 - (\sqrt{a^2 - b^2c})^2 = a^2 - (a^2 - b^2c) = b^2c $$

Тогда удвоенное произведение равно:

$$ 2 \cdot \sqrt{\frac{b^2c}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{b^2c}}{\sqrt{4}} = 2 \cdot \frac{|b|\sqrt{c}}{2} = |b|\sqrt{c} $$

Согласно условию задачи, $b > 0$, поэтому $|b| = b$. Значит, второе слагаемое равно $b\sqrt{c}$.

Складывая полученные части, получаем:

$$ R^2 = a + b\sqrt{c} $$

Таким образом, квадрат правой части исходного равенства равен подкоренному выражению в левой части. Поскольку $R$ является суммой арифметических квадратных корней, $R$ — неотрицательное число ($R \ge 0$). Следовательно, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства $R^2 = a + b\sqrt{c}$, мы получаем:

$$ R = \sqrt{a + b\sqrt{c}} $$

Подставив обратно определение $R$, мы приходим к исходной формуле, что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.