Номер 2.177, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.177, страница 107.

Условие.

2.177 Исследуем

1) Заполните таблицу:

$x$, $0$, $0.2$, $0.4$, $0.6$, $0.8$, $1$, $2$, $3$

$\sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x}$

2) Постройте в одной и той же системе координат на промежутке $[0; 3]$ графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt[3]{x}$ (за единичный отрезок примите 10 клеток).

3) Сравните $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ при $x = 0$; $x = 1$; $x > 1$; $0 < x < 1$.

4) Выпишите в порядке возрастания числа:

$\sqrt{7.4}$; $\sqrt{10}$; $\sqrt{0.96}$; $\sqrt{0.51}$; $\sqrt[3]{7.4}$; $\sqrt[3]{5.1}$; $\sqrt[3]{0.96}$; $1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы вычислим значения функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt[3]{x}$ для заданных значений $x$. Результаты округлим до трех знаков после запятой для большей точности.

• При $x = 0$: $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt[3]{0} = 0$
• При $x = 0.2$: $\sqrt{0.2} \approx 0.447$, $\sqrt[3]{0.2} \approx 0.585$
• При $x = 0.4$: $\sqrt{0.4} \approx 0.632$, $\sqrt[3]{0.4} \approx 0.737$
• При $x = 0.6$: $\sqrt{0.6} \approx 0.775$, $\sqrt[3]{0.6} \approx 0.843$
• При $x = 0.8$: $\sqrt{0.8} \approx 0.894$, $\sqrt[3]{0.8} \approx 0.928$
• При $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt[3]{1} = 1$
• При $x = 2$: $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt[3]{2} \approx 1.260$
• При $x = 3$: $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$

Ответ:

$x$	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	2	3
$\sqrt{x}$	0	0,447	0,632	0,775	0,894	1	1,414	1,732
$\sqrt[3]{x}$	0	0,585	0,737	0,843	0,928	1	1,260	1,442

2) Постройте в одной и той же системе координат на промежутке [0; 3] графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt[3]{x}$ (за единичный отрезок примите 10 клеток).

Для построения графиков используем точки, вычисленные в таблице из пункта 1. На координатной плоскости отложим ось $Ox$ и ось $Oy$. Единичный отрезок по обеим осям равен 10 клеткам.

Ключевые точки для графика $y = \sqrt{x}$: $(0; 0)$, $(0.2; 0.45)$, $(0.4; 0.63)$, $(0.6; 0.77)$, $(0.8; 0.89)$, $(1; 1)$, $(2; 1.41)$, $(3; 1.73)$.

Ключевые точки для графика $y = \sqrt[3]{x}$: $(0; 0)$, $(0.2; 0.58)$, $(0.4; 0.74)$, $(0.6; 0.84)$, $(0.8; 0.93)$, $(1; 1)$, $(2; 1.26)$, $(3; 1.44)$.

Соединив точки плавными линиями, получим два графика. Оба графика выходят из начала координат $(0; 0)$ и являются возрастающими. Они пересекаются в точке $(1; 1)$.

• На интервале $(0; 1)$ график $y = \sqrt[3]{x}$ лежит выше графика $y = \sqrt{x}$.
• На интервале $(1; 3]$ график $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика $y = \sqrt[3]{x}$.

Ответ: Построение графиков производится по точкам, рассчитанным в пункте 1. Визуально графики представляют собой две возрастающие кривые, выходящие из точки $(0;0)$ и пересекающиеся в точке $(1;1).

3) Сравните $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ при $x = 0; x = 1; x > 1; 0 < x < 1$.

Для сравнения значений $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ рассмотрим каждый случай отдельно. Это сравнение можно также провести, анализируя взаимное расположение графиков из пункта 2.

• При $x = 0$: $\sqrt{0} = 0$ и $\sqrt[3]{0} = 0$. Следовательно, $\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$.
• При $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$ и $\sqrt[3]{1} = 1$. Следовательно, $\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$.
• При $x > 1$: Для любого числа, большего 1, корень с большим показателем будет меньше. То есть, $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Так как $1/2 > 1/3$, то для $x > 1$ выполняется неравенство $x^{1/2} > x^{1/3}$. Следовательно, $\sqrt{x} > \sqrt[3]{x}$. Например, при $x=2$ имеем $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt[3]{2} \approx 1.260$, то есть $\sqrt{2} > \sqrt[3]{2}$.
• При $0 < x < 1$: Для любого положительного числа, меньшего 1, корень с большим показателем будет больше. То есть, для $0 < x < 1$ выполняется неравенство $x^{1/2} < x^{1/3}$. Следовательно, $\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}$. Например, при $x=0.2$ имеем $\sqrt{0.2} \approx 0.447$ и $\sqrt[3]{0.2} \approx 0.585$, то есть $\sqrt{0.2} < \sqrt[3]{0.2}$.

Ответ:

• При $x=0$: $\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$
• При $x=1$: $\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$
• При $x > 1$: $\sqrt{x} > \sqrt[3]{x}$
• При $0 < x < 1$: $\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}$

4) Выпишите в порядке возрастания числа: $\sqrt{7.4}; \sqrt{10}; \sqrt{0.96}; \sqrt{0.51}; \sqrt[3]{7.4}; \sqrt[3]{5.1}; \sqrt[3]{0.96}; 1$.

Для упорядочивания чисел разделим их на три группы: числа меньше 1, число 1, и числа больше 1.

Числа меньше 1: $\sqrt{0.96}, \sqrt{0.51}, \sqrt[3]{0.96}$.

• Функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, поэтому из $0.51 < 0.96$ следует, что $\sqrt{0.51} < \sqrt{0.96}$.
• Согласно выводу из пункта 3, для $x \in (0, 1)$ справедливо неравенство $\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}$. Значит, $\sqrt{0.96} < \sqrt[3]{0.96}$.
• Также $\sqrt[3]{0.96} < \sqrt[3]{1} = 1$.
• Таким образом, в этой группе числа располагаются в следующем порядке: $\sqrt{0.51} < \sqrt{0.96} < \sqrt[3]{0.96}$.

Число 1: $1$.

Числа больше 1: $\sqrt{7.4}, \sqrt{10}, \sqrt[3]{7.4}, \sqrt[3]{5.1}$.

• $1 = \sqrt[3]{1}$. Так как $1 < 5.1$, то $1 < \sqrt[3]{5.1}$.
• Функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая, поэтому из $5.1 < 7.4$ следует, что $\sqrt[3]{5.1} < \sqrt[3]{7.4}$.
• Согласно выводу из пункта 3, для $x > 1$ справедливо неравенство $\sqrt[3]{x} < \sqrt{x}$. Значит, $\sqrt[3]{7.4} < \sqrt{7.4}$.
• Функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, поэтому из $7.4 < 10$ следует, что $\sqrt{7.4} < \sqrt{10}$.
• Таким образом, в этой группе числа располагаются в следующем порядке: $\sqrt[3]{5.1} < \sqrt[3]{7.4} < \sqrt{7.4} < \sqrt{10}$.

Объединяя все группы, получаем общую последовательность чисел в порядке возрастания.

Ответ: $\sqrt{0.51}; \sqrt{0.96}; \sqrt[3]{0.96}; 1; \sqrt[3]{5.1}; \sqrt[3]{7.4}; \sqrt{7.4}; \sqrt{10}$.