Номер 2.182, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.182, страница 109.

Условие.

2.182 Формула, рассмотренная в предыдущем задании, представляет интерес, если выражение $a^2 - b^2c$ является квадратом натурального числа. Примените эту формулу для упрощения выражения:

а) $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}}$;

б) $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для упрощения выражений вида $\sqrt{a \pm b\sqrt{c}}$ используется формула сложных радикалов. Согласно условию, мы применим формулу, которая эффективна, когда выражение $a^2 - b^2c$ является полным квадратом натурального числа. Формула имеет вид:

$\sqrt{a \pm b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}}$

а)

Упростим выражение $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}}$.

В данном случае коэффициенты: $a=12$, $b=2$ и $c=11$.

Проверим условие, указанное в задаче. Вычислим значение выражения $a^2 - b^2c$:

$a^2 - b^2c = 12^2 - 2^2 \cdot 11 = 144 - 4 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.

Так как $100 = 10^2$, выражение является квадратом натурального числа 10. Следовательно, мы можем применить формулу.

Подставляем значения в формулу:

$\sqrt{12 + 2\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{12 + \sqrt{100}}{2}} + \sqrt{\frac{12 - \sqrt{100}}{2}}$

Выполняем вычисления:

$\sqrt{\frac{12+10}{2}} + \sqrt{\frac{12-10}{2}} = \sqrt{\frac{22}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{11} + \sqrt{1} = 1 + \sqrt{11}$.

Ответ: $1 + \sqrt{11}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}}$.

Здесь коэффициенты: $a=57$, $b=12$ и $c=15$.

Вычислим значение выражения $a^2 - b^2c$:

$a^2 - b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 144 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089$.

Проверим, является ли 1089 квадратом натурального числа. Так как $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$, корень находится между 30 и 40. Последняя цифра 9, значит корень должен оканчиваться на 3 или 7. Проверим 33: $33^2 = 1089$. Значит, $\sqrt{1089} = 33$. Условие выполняется.

Применим формулу:

$\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + \sqrt{1089}}{2}} + \sqrt{\frac{57 - \sqrt{1089}}{2}}$

Выполняем вычисления:

$\sqrt{\frac{57+33}{2}} + \sqrt{\frac{57-33}{2}} = \sqrt{\frac{90}{2}} + \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} + \sqrt{12}$.

Теперь упростим полученные радикалы:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Следовательно, итоговое выражение равно $3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.