Номер 4, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 110.

Условие.

4 Покажите, как с помощью теоремы Пифагора построить отрезок, длина которого равна $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения отрезков с иррациональной длиной с помощью теоремы Пифагора мы будем использовать метод построения прямоугольных треугольников, где искомый отрезок будет гипотенузой. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов длин катетов ($a$ и $b$): $c^2 = a^2 + b^2$. Отсюда $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. За единицу длины примем некоторый заданный отрезок.

√2

Чтобы построить отрезок длиной $\sqrt{2}$, мы можем представить число 2 как сумму квадратов целых чисел: $2 = 1^2 + 1^2$. Это означает, что искомый отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 1.

Алгоритм построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке A.
2. На сторонах прямого угла отложим от вершины A отрезки единичной длины $AB$ и $AC$. Таким образом, $AB = 1$ и $AC = 1$.
3. Соединим точки B и C. Полученный отрезок BC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC.
4. Согласно теореме Пифагора, длина отрезка BC равна $\sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: Отрезок длиной $\sqrt{2}$ строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 1.

√3

Чтобы построить отрезок длиной $\sqrt{3}$, представим число 3 как сумму квадратов. Мы можем использовать уже построенный отрезок длиной $\sqrt{2}$, так как $3 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$. Следовательно, искомый отрезок будет гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет равен $\sqrt{2}$, а другой — 1.

Алгоритм построения:
1. Сначала построим отрезок AC длиной $\sqrt{2}$, как описано в предыдущем пункте.
2. В точке C построим перпендикуляр к отрезку AC.
3. На этом перпендикуляре от точки C отложим отрезок CD единичной длины ($CD = 1$).
4. Соединим точки A и D. Полученный отрезок AD является гипотенузой прямоугольного треугольника ACD с катетами $AC = \sqrt{2}$ и $CD = 1$.
5. Длина отрезка AD равна $\sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$.

Ответ: Отрезок длиной $\sqrt{3}$ строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной $\sqrt{2}$ и 1.

√5

Для построения отрезка длиной $\sqrt{5}$, представим число 5 как сумму квадратов целых чисел: $5 = 2^2 + 1^2$. Это значит, что искомый отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной 2 и 1.

Алгоритм построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке A.
2. На одной стороне угла отложим от точки A отрезок AB длиной 2 единицы.
3. На другой стороне угла отложим от точки A отрезок AC длиной 1 единица.
4. Соединим точки B и C. Полученный отрезок BC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC.
5. Длина отрезка BC равна $\sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Ответ: Отрезок длиной $\sqrt{5}$ строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 2 и 1.