Номер 5, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 2. Квадратные корни - номер 5, страница 110.

Условие.

5 Дайте определение квадратного корня. Приведите примеры. Сколько существует квадратных корней из положительного числа $a$? Как они обозначаются? Существует ли квадратный корень из отрицательного числа? Какой квадратный корень называют арифметическим?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дайте определение квадратного корня.

Квадратным корнем из числа $a$ называется число, квадрат которого равен $a$. Иными словами, число $x$ является квадратным корнем из числа $a$, если выполняется равенство $x^2 = a$.

Ответ: Квадратным корнем из числа $a$ называется число $x$, такое что $x^2 = a$.

Приведите примеры.

Например, для числа 25 квадратными корнями являются числа 5 и -5, так как $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$.
Для числа 81 квадратными корнями будут 9 и -9, потому что $9^2 = 81$ и $(-9)^2 = 81$.
Для числа 0 существует только один квадратный корень — это 0, так как $0^2 = 0$.

Ответ: Квадратные корни из числа 25 — это 5 и -5.

Сколько существует квадратных корней из положительного числа a?

Из любого положительного числа $a$ (то есть при $a > 0$) существует ровно два квадратных корня. Эти два корня являются противоположными числами: один из них положительный, а другой — отрицательный.

Ответ: Существует два квадратных корня.

Как они обозначаются?

Для обозначения квадратных корней из положительного числа $a$ используется знак радикала $\sqrt{\phantom{x}}$. Положительный корень обозначается как $\sqrt{a}$, а отрицательный корень — как $-\sqrt{a}$. Например, два квадратных корня из числа 16 — это $\sqrt{16}=4$ и $-\sqrt{16}=-4$.

Ответ: Они обозначаются как $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

Существует ли квадратный корень из отрицательного числа?

В множестве действительных чисел квадратного корня из отрицательного числа не существует. Это следует из того, что квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Невозможно найти такое действительное число $x$, для которого выполнялось бы равенство $x^2 = a$ при $a < 0$.

Ответ: В множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Какой квадратный корень называют арифметическим?

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (то есть при $a \ge 0$) называют его неотрицательный квадратный корень. Арифметический квадратный корень обозначается символом $\sqrt{a}$.
Таким образом, для арифметического квадратного корня $\sqrt{a}$ должны выполняться два условия:
1) он должен быть неотрицательным: $\sqrt{a} \ge 0$;
2) его квадрат должен быть равен подкоренному выражению: $(\sqrt{a})^2 = a$.
Например, арифметический квадратный корень из 36, то есть $\sqrt{36}$, равен 6. Число -6 также является квадратным корнем из 36, но не является арифметическим, так как оно отрицательное.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют его неотрицательный квадратный корень, который обозначается как $\sqrt{a}$.