Номер 2.178, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.178, страница 109.

Условие.

Упростите выражение (2.178–2.180).

2.178 a) $ \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} $;

б) $ \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$ необходимо представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $(a+b)^2 = 27 + 10\sqrt{2}$. Это означает, что $a^2 + b^2 + 2ab = 27 + 10\sqrt{2}$. Приравнивая слагаемые, можно составить систему уравнений: $ \begin{cases} a^2+b^2 = 27 \\ 2ab = 10\sqrt{2} \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $ab = 5\sqrt{2}$. Можно предположить, что одно из чисел является целым, а другое содержит $\sqrt{2}$. Попробуем взять $a=5$ и $b=\sqrt{2}$. Подставим эти значения в первое уравнение для проверки: $a^2+b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$. Равенство верно, следовательно, наш выбор чисел $a$ и $b$ правильный.

Таким образом, подкоренное выражение можно записать как квадрат суммы: $27 + 10\sqrt{2} = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (5 + \sqrt{2})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень: $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}|$. Поскольку выражение $5 + \sqrt{2}$ положительно, модуль можно опустить. $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}$.

Ответ: $5 + \sqrt{2}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ аналогичным образом, представив подкоренное выражение $9 + 4\sqrt{5}$ в виде полного квадрата $(a+b)^2$.

Составим систему уравнений, исходя из равенства $a^2 + b^2 + 2ab = 9 + 4\sqrt{5}$: $ \begin{cases} a^2+b^2 = 9 \\ 2ab = 4\sqrt{5} \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{5}$. Попробуем подобрать подходящие значения. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим, выполняется ли первое уравнение: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Равенство выполняется, значит, числа подобраны верно.

Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде: $9 + 4\sqrt{5} = 4 + 5 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 2^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$.

Теперь извлекаем квадратный корень: $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}|$. Так как $2 + \sqrt{5}$ является положительным числом, модуль можно убрать. $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: $2 + \sqrt{5}$.