Номер 2.168, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.168, страница 105.

Условие.

2.168 1) Какие из чисел 15, -18, 56, -110 являются допустимыми значениями для выражения $\sqrt{a}$; выражения $\sqrt[3]{a}$?

2) Подставьте в каждое из выражений $\sqrt{a}$ и $\sqrt[3]{a}$ допустимые значения переменной и укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения с арифметическим квадратным корнем $\sqrt{a}$ включает все неотрицательные числа. Это означает, что подкоренное выражение a должно быть больше или равно нулю ($a \ge 0$). Из предложенных чисел 15, -18, 56, -110 этому условию удовлетворяют только положительные числа: 15 и 56.
Область допустимых значений для выражения с кубическим корнем $\sqrt[3]{a}$ включает все действительные числа, так как корень нечетной степени определен для любого числа (положительного, отрицательного или нуля). Следовательно, все числа из списка: 15, -18, 56, -110, являются допустимыми значениями для переменной a в этом выражении.

Ответ: для выражения $\sqrt{a}$ допустимыми являются числа 15 и 56; для выражения $\sqrt[3]{a}$ допустимыми являются все числа: 15, -18, 56, -110.

2) Подставим допустимые значения переменной a в каждое из выражений и для каждого случая укажем два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня.

Для выражения $\sqrt{a}$:
- При $a = 15$: мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Так как $9 < 15 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, следовательно $3 < \sqrt{15} < 4$. Искомые числа: 3 и 4.
- При $a = 56$: мы знаем, что $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$. Так как $49 < 56 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{56} < \sqrt{64}$, следовательно $7 < \sqrt{56} < 8$. Искомые числа: 7 и 8.

Для выражения $\sqrt[3]{a}$:
- При $a = 15$: мы знаем, что $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$. Так как $8 < 15 < 27$, то $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}$, следовательно $2 < \sqrt[3]{15} < 3$. Искомые числа: 2 и 3.
- При $a = -18$: мы знаем, что $(-3)^3 = -27$ и $(-2)^3 = -8$. Так как $-27 < -18 < -8$, то $\sqrt[3]{-27} < \sqrt[3]{-18} < \sqrt[3]{-8}$, следовательно $-3 < \sqrt[3]{-18} < -2$. Искомые числа: -3 и -2.
- При $a = 56$: мы знаем, что $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$. Так как $27 < 56 < 64$, то $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{56} < \sqrt[3]{64}$, следовательно $3 < \sqrt[3]{56} < 4$. Искомые числа: 3 и 4.
- При $a = -110$: мы знаем, что $(-5)^3 = -125$ и $(-4)^3 = -64$. Так как $-125 < -110 < -64$, то $\sqrt[3]{-125} < \sqrt[3]{-110} < \sqrt[3]{-64}$, следовательно $-5 < \sqrt[3]{-110} < -4$. Искомые числа: -5 и -4.

Ответ: для $\sqrt{15}$ — 3 и 4; для $\sqrt{56}$ — 7 и 8; для $\sqrt[3]{15}$ — 2 и 3; для $\sqrt[3]{-18}$ — -3 и -2; для $\sqrt[3]{56}$ — 3 и 4; для $\sqrt[3]{-110}$ — -5 и -4.