Номер 1, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 1, страница 104.

Условие.

1) Какое число называют кубическим корнем? Как его обозначают (фрагменты 1 и 2)?

2) Докажите, что: $\sqrt[3]{216} = 6$; $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Решение 4.

1) Кубическим корнем из числа $a$ называется такое число $b$, третья степень (куб) которого равна $a$. Это можно записать в виде равенства: $b^3 = a$.

Обозначают кубический корень с помощью знака радикала $\sqrt{}$ с показателем 3 (маленькая цифра «3» над знаком корня). Запись имеет вид $\sqrt[3]{a}$ и читается как «кубический корень из $a$». Например, $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Ответ: Кубическим корнем из числа $a$ называют число, куб которого равен $a$. Обозначают его символом $\sqrt[3]{a}$.

2) Для доказательства данных равенств воспользуемся определением кубического корня. Равенство $\sqrt[3]{a} = b$ является верным, если $b^3 = a$.

Докажем первое равенство: $\sqrt[3]{216} = 6$.
Согласно определению, это равенство будет верным, если $6^3 = 216$.
Проверим это, возведя число 6 в куб:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
Так как $6^3$ действительно равно $216$, то равенство $\sqrt[3]{216} = 6$ является верным.

Докажем второе равенство: $\sqrt[3]{-125} = -5$.
Аналогично, это равенство будет верным, если $(-5)^3 = -125$.
Проверим это, возведя число -5 в куб:
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.
Так как $(-5)^3$ действительно равно $-125$, то равенство $\sqrt[3]{-125} = -5$ является верным.

Ответ: Равенства $\sqrt[3]{216} = 6$ и $\sqrt[3]{-125} = -5$ доказаны, так как $6^3 = 216$ и $(-5)^3 = -125$.