Номер 2.159, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.159, страница 101.

Условие.

2.159 ДОКАЗЫВАЕМ 1) Докажите, что верно равенство:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1$

Подсказка. Освободитесь от иррациональности в знаменателе каждой дроби.

2) Упростите выражение:

а) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$;

б) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать данное равенство, воспользуемся подсказкой и избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Рассмотрим общий вид слагаемого в левой части равенства: $ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} $. Заметим, что первый знаменатель $1+\sqrt{2}$ можно записать как $\sqrt{1}+\sqrt{2}$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} $ на сопряженное выражение $ \sqrt{k+1} - \sqrt{k} $:

$ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k+1-k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k} $

Теперь применим это преобразование к каждому слагаемому в левой части исходного равенства:

• $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1 $
• $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
• $ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} $
• $ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} $

Сложим полученные выражения:

$ (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые. Мы видим, что многие члены взаимно уничтожаются (это называется телескопической суммой):

$ -1 + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (\sqrt{4} - \sqrt{4}) + \sqrt{5} = -1 + 0 + 0 + 0 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1 $

В результате мы получили, что левая часть равенства равна $ \sqrt{5} - 1 $, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1 $ является верным.

2) a) Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} $, мы используем тот же метод, что и в пункте 1.

Каждое слагаемое вида $ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} $ преобразуется в $ \sqrt{k+1} - \sqrt{k} $. В данном случае $k$ изменяется от 1 до 99.

Следовательно, вся сумма может быть записана как:

$ (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) $

Это телескопическая сумма, в которой все промежуточные члены сокращаются:

$ -\sqrt{1} + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99}-\sqrt{99}) + \sqrt{100} $

Остаются только первый и последний члены:

$ -\sqrt{1} + \sqrt{100} = -1 + 10 = 9 $

Ответ: 9.

2) б) Упростим выражение $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} $.

Это обобщенный случай предыдущих заданий. Каждое слагаемое $ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} $ равно $ \sqrt{k+1} - \sqrt{k} $. Здесь $ k $ принимает значения от 1 до $ n-1 $.

Запишем сумму в преобразованном виде:

$ (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) $

В этой телескопической сумме все промежуточные слагаемые от $ \sqrt{2} $ до $ \sqrt{n-1} $ взаимно уничтожаются. Остаются только $ -\sqrt{1} $ из первого слагаемого и $ \sqrt{n} $ из последнего.

Сумма равна:

$ \sqrt{n} - \sqrt{1} = \sqrt{n} - 1 $

Ответ: $ \sqrt{n} - 1 $.