Номер 2.155, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.155, страница 101.

Условие.

2.155 РАССУЖДАЕМ На какое выражение нужно умножить данный двучлен, чтобы получившееся произведение не содержало радикалов? Проверьте себя, выполнив умножение:

1) $(2+\sqrt{3})\cdot \dots$;

2) $(2\sqrt{5}-1)\cdot \dots$;

3) $(\sqrt{7}-\sqrt{5})\cdot \dots$;

4) $(x+a\sqrt{y})\cdot \dots$;

$\sqrt{m}+\sqrt{n}$;

$\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Каков общий приём выполнения этого задания?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы избавиться от радикалов (в данном случае, квадратных корней) в произведении, нужно умножить данный двучлен на сопряженное ему выражение. Это позволит использовать формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Применение этой формулы приведет к возведению в квадрат членов, содержащих корень, что и устранит радикал.

1) $(2+\sqrt{3})$

Данный двучлен имеет вид $(a+b)$, где $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Сопряженным для него является выражение $(a-b)$, то есть $(2-\sqrt{3})$.
Проверим умножением:
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Произведение равно 1, радикалов нет.
Ответ: на выражение $(2-\sqrt{3})$.

2) $(2\sqrt{5}-1)$

Данный двучлен имеет вид $(a-b)$, где $a=2\sqrt{5}$ и $b=1$. Сопряженным для него является выражение $(a+b)$, то есть $(2\sqrt{5}+1)$.
Проверим умножением:
$(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.
Произведение равно 19, радикалов нет.
Ответ: на выражение $(2\sqrt{5}+1)$.

3) $(\sqrt{7}-\sqrt{5})$

Данный двучлен имеет вид $(a-b)$, где $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{5}$. Сопряженным для него является выражение $(a+b)$, то есть $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$.
Проверим умножением:
$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.
Произведение равно 2, радикалов нет.
Ответ: на выражение $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$.

4) $(x+a\sqrt{y})$

Данный двучлен имеет вид $(A+B)$, где $A=x$ и $B=a\sqrt{y}$. Сопряженным для него является выражение $(A-B)$, то есть $(x-a\sqrt{y})$.
Проверим умножением:
$(x+a\sqrt{y})(x-a\sqrt{y}) = x^2 - (a\sqrt{y})^2 = x^2 - a^2y$.
Произведение равно $x^2 - a^2y$, радикалов нет.
Ответ: на выражение $(x-a\sqrt{y})$.

5) $\sqrt{m}+\sqrt{n}$

Данный двучлен имеет вид $(a+b)$, где $a=\sqrt{m}$ и $b=\sqrt{n}$. Сопряженным для него является выражение $(a-b)$, то есть $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$.
Проверим умножением:
$(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.
Произведение равно $m-n$, радикалов нет.
Ответ: на выражение $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$.

6) $\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Данный двучлен имеет вид $(A-B)$, где $A=\sqrt{a}$ и $B=\sqrt{b}$. Сопряженным для него является выражение $(A+B)$, то есть $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.
Проверим умножением:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
Произведение равно $a-b$, радикалов нет.
Ответ: на выражение $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.

---

Каков общий приём выполнения этого задания?

Общий приём для решения этой задачи — умножение исходного двучлена на сопряженное ему выражение.

• Сопряженным для выражения вида $(A+B)$ является выражение $(A-B)$.
• Сопряженным для выражения вида $(A-B)$ является выражение $(A+B)$.

Этот метод основан на формуле разности квадратов: $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$.

Когда мы умножаем двучлен, содержащий квадратный корень, на сопряженный ему, каждый член двучлена возводится в квадрат. Это приводит к тому, что знак корня (радикал) исчезает, так как $(\sqrt{x})^2 = x$. В результате получается выражение, свободное от радикалов (рациональное выражение).