Номер 2.161, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.161, страница 102.

Условие.

2.161 Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt{2x^3}$;

б) $\sqrt{\frac{x^5}{6}}$;

в) $\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}$;

г) $\sqrt{(x+y)^3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{2x^3}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это означает, что $2x^3 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge 0$.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $2x^3 = 2 \cdot x^2 \cdot x = x^2 \cdot (2x)$.

Теперь применим свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$: $\sqrt{2x^3} = \sqrt{x^2 \cdot 2x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x}$.

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как из области определения мы знаем, что $x \ge 0$, то $|x| = x$. Следовательно, получаем: $x \cdot \sqrt{2x}$.

Ответ: $x\sqrt{2x}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{x^5}{6}}$. Область определения выражения задается условием $\frac{x^5}{6} \ge 0$, что эквивалентно $x^5 \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Представим числитель подкоренного выражения в виде произведения, содержащего множитель с четной степенью: $x^5 = x^4 \cdot x$.

Теперь можно вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{\frac{x^5}{6}} = \sqrt{\frac{x^4 \cdot x}{6}} = \frac{\sqrt{x^4 \cdot x}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{x^4}\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$.

Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x^4} = x^2$. Получаем: $\frac{x^2\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$: $\frac{x^2\sqrt{x}}{\sqrt{6}} = \frac{x^2\sqrt{x} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{x^2\sqrt{6x}}{6}$.

Ответ: $\frac{x^2\sqrt{6x}}{6}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x^3}{y^3} \ge 0$, или $(\frac{x}{y})^3 \ge 0$, что означает $\frac{x}{y} \ge 0$. Это условие выполняется, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), при этом $y \ne 0$.

Представим выражение под корнем следующим образом, чтобы выделить полный квадрат: $\frac{x^3}{y^3} = \frac{x^2 \cdot x}{y^2 \cdot y} = \frac{x^2}{y^2} \cdot \frac{x}{y} = \left(\frac{x}{y}\right)^2 \cdot \frac{x}{y}$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{\frac{x^3}{y^3}} = \sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2 \cdot \frac{x}{y}} = \sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем: $\left|\frac{x}{y}\right|\sqrt{\frac{x}{y}}$.

Из области определения мы знаем, что $\frac{x}{y} \ge 0$, поэтому $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{x}{y}$. Таким образом, окончательное выражение имеет вид: $\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}$.

Ответ: $\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{(x+y)^3}$. Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(x+y)^3 \ge 0$, что означает $x+y \ge 0$.

Представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом: $(x+y)^3 = (x+y)^2 \cdot (x+y)$.

Теперь применим свойство корня из произведения: $\sqrt{(x+y)^3} = \sqrt{(x+y)^2 \cdot (x+y)} = \sqrt{(x+y)^2} \cdot \sqrt{x+y}$.

По определению $\sqrt{a^2}=|a|$, поэтому $\sqrt{(x+y)^2} = |x+y|$. Из области определения мы знаем, что $x+y \ge 0$, следовательно, $|x+y| = x+y$.

В результате получаем: $(x+y)\sqrt{x+y}$.

Ответ: $(x+y)\sqrt{x+y}$