Номер 2.163, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.163, страница 102.

Условие.

2.163 Постройте график зависимости:

а) $y=\sqrt{x^2}$;

б) $y=(\sqrt{x})^2$;

в) $y=x(\sqrt{x})^2$;

г) $y=x\sqrt{x^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \sqrt{x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ): Подкоренное выражение $x^2$ должно быть неотрицательным. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, область определения функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение выражения: По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, функцию можно записать в виде $y = |x|$.

3. Построение графика: График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• При $x \ge 0$, функция принимает вид $y = x$. Это луч, являющийся биссектрисой первого координатного угла.
• При $x < 0$, функция принимает вид $y = -x$. Это луч, являющийся биссектрисой второго координатного угла.

Вместе они образуют график, похожий на букву "V" с вершиной в точке (0, 0).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2}$ совпадает с графиком функции $y = |x|$.

б) $y = (\sqrt{x})^2$

1. Область определения функции (ОДЗ): Подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения функции — $x \ge 0$, то есть $x \in [0; +\infty)$.

2. Упрощение выражения: Для всех $x$ из области определения справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Таким образом, функция принимает вид $y = x$.

3. Построение графика: Необходимо построить график прямой $y = x$ с учётом области определения $x \ge 0$.

График представляет собой луч, выходящий из начала координат (0, 0) и расположенный в первом координатном угле.

Ответ: График функции $y = (\sqrt{x})^2$ — это луч $y = x$, определённый для $x \ge 0$.

в) $y = x(\sqrt{x})^2$

1. Область определения функции (ОДЗ): Как и в предыдущем случае, подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным. Область определения: $x \ge 0$, то есть $x \in [0; +\infty)$.

2. Упрощение выражения: На области определения $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем $y = x \cdot x = x^2$.

3. Построение графика: Необходимо построить график параболы $y = x^2$ при условии $x \ge 0$.

График представляет собой правую ветвь стандартной параболы $y = x^2$ с вершиной в начале координат (0, 0).

Ответ: График функции $y = x(\sqrt{x})^2$ — это часть параболы $y = x^2$ при $x \ge 0$.

г) $y = x\sqrt{x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ): Подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение выражения: Используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем функцию $y = x|x|$.

3. Построение графика: Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$.
• При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$.

Таким образом, график состоит из двух частей, "сшитых" в точке (0, 0):

• Для $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы $y = x^2$.
• Для $x < 0$ — это левая ветвь параболы $y = -x^2$ (ветви направлены вниз).

Ответ: График функции $y = x\sqrt{x^2}$ представляет собой объединение двух частей парабол: $y = x^2$ для $x \ge 0$ и $y = -x^2$ для $x < 0$.