Номер 2.157, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.157, страница 101.

Условие.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (2.157–2.158)

2.157 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}} $;

б) $ \frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}$, сгруппируем слагаемые в знаменателе следующим образом: $(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}$. Для этого используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (1+\sqrt{5}+\sqrt{6})}{((1+\sqrt{5})-\sqrt{6})((1+\sqrt{5})+\sqrt{6})} = \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2}$

Раскроем скобки и упростим выражение в знаменателе:

$(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2 = (1^2 + 2\cdot1\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - 6 = (1+2\sqrt{5}+5) - 6 = 6+2\sqrt{5}-6 = 2\sqrt{5}$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

В знаменателе все еще присутствует иррациональность. Чтобы избавиться от $\sqrt{5}$ в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:

$\frac{(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})\cdot\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{1\cdot\sqrt{5} + \sqrt{5}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{5}}{2\cdot(\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}+5+\sqrt{30}}{2\cdot5} = \frac{5+\sqrt{5}+\sqrt{30}}{10}$

Ответ: $\frac{5+\sqrt{5}+\sqrt{30}}{10}$.

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$, сгруппируем слагаемые в знаменателе: $(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{12 \cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})} = \frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$

Раскроем скобки и упростим выражение в знаменателе:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 5 = (2+2\sqrt{6}+3)-5 = 5+2\sqrt{6}-5 = 2\sqrt{6}$

Дробь принимает вид:

$\frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{6}}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{6(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{\sqrt{6}}$

Чтобы избавиться от иррациональности $\sqrt{6}$ в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\frac{6(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{6(\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{6})}{6} = \frac{6(\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{30})}{6}$

Упростим корни в числителе: $\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$, а $\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}$.

$\frac{6(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30})}{6}$

Сократим дробь на 6:

$3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}$

Ответ: $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}$.