Номер 2.152, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.152, страница 100.

Условие.

2.152 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли равенство:

a) $\sqrt{7 - \sqrt{40}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$;

б) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}};$

в) $1 - 2\sqrt{7} = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}};$

г) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{7 - \sqrt{40}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$, возведем обе его части в квадрат. Это корректно, так как обе части положительны (для левой части $7 = \sqrt{49} > \sqrt{40}$, для правой $\sqrt{5} > \sqrt{2}$).
Квадрат левой части: $(\sqrt{7 - \sqrt{40}})^2 = 7 - \sqrt{40}$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$.
Теперь сравним полученные выражения: $7 - \sqrt{40}$ и $7 - 2\sqrt{10}$. Равенство будет верным, если $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
Преобразуем $\sqrt{40}$: $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$.
Так как выражения после возведения в квадрат равны, исходное равенство также верно.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$. Обе части этого равенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат.
Квадрат левой части: $(\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
Квадрат правой части: $(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Квадраты левой и правой частей равны, следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: верно.

в) Рассмотрим равенство $1 - 2\sqrt{7} = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$.
Оценим знак левой части равенства. $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$. Так как $1 = \sqrt{1}$ и $\sqrt{28} > \sqrt{1}$, то $2\sqrt{7} > 1$. Следовательно, выражение $1 - 2\sqrt{7}$ является отрицательным числом.
Правая часть равенства, $\sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$, является арифметическим квадратным корнем, значение которого по определению не может быть отрицательным (оно больше или равно нулю).
Отрицательное число не может быть равно неотрицательному, поэтому данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.
Обе части равенства положительны (в левой части $\sqrt{3} \approx 1.73 > 1$, в правой $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$). Возведем обе части в квадрат.
Квадрат левой части: $(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 = 2 - \sqrt{3}$.
Поскольку квадраты обеих частей равны и сами части положительны, исходное равенство является верным.
Ответ: верно.