Номер 2.147, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.147, страница 100.

Условие.

Упростите выражение (2.147–2.148).

2.147 a) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2});$

б) $(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108});$

в) $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2;$

г) $(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, поэтому мы можем использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2$.

Возведем каждое слагаемое в квадрат:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Теперь вычтем второе из первого:

$12 - 18 = -6$.

Ответ: -6

б)

Сначала упростим корни в выражении $(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108})$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня.

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108}) = (4\sqrt{2} - 3 \cdot 2\sqrt{3})(2 \cdot 2\sqrt{2} + 6\sqrt{3}) = (4\sqrt{2} - 6\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 6\sqrt{3})$.

Снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 4\sqrt{2}$ и $b = 6\sqrt{3}$.

$(4\sqrt{2} - 6\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 6\sqrt{3}) = (4\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2$.

Возведем в квадрат:

$(4\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 2 - 36 \cdot 3 = 32 - 108 = -76$.

Ответ: -76

в)

Для упрощения выражения $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 3\sqrt{5}$ и $b = 2\sqrt{6}$.

Раскроем скобки по формуле:

$(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{6}) + (2\sqrt{6})^2$.

Вычислим каждый член выражения:

Первый член: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

Второй член: $2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{6}) = (2 \cdot 3 \cdot 2) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}) = 12\sqrt{30}$.

Третий член: $(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

Подставим значения обратно в выражение:

$45 - 12\sqrt{30} + 24$.

Сложим числовые члены:

$45 + 24 = 69$.

Итоговое выражение: $69 - 12\sqrt{30}$.

Ответ: $69 - 12\sqrt{30}$

г)

Упростим выражение $(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2$, раскрыв каждую скобку по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

Для первой скобки используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2 - \sqrt{6})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$.

Для второй скобки используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(5 + \sqrt{2})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 + 10\sqrt{2} + 2 = 27 + 10\sqrt{2}$.

Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:

$(10 - 4\sqrt{6}) - (27 + 10\sqrt{2}) = 10 - 4\sqrt{6} - 27 - 10\sqrt{2}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (числовые члены):

$(10 - 27) - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2} = -17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}$.

Ответ: $-17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}$