Номер 2.140, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.140, страница 99.

Условие.

2.140 Из приведённых ниже выражений выберите выражения, равные: $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $:

$ \frac{\sqrt{6}}{2} $, $ \frac{3}{2} $, $ \sqrt{\frac{3}{2}} $, $ \sqrt{\frac{2}{3}} $, $ \frac{3}{\sqrt{6}} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какие из предложенных выражений равны $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, преобразуем исходное выражение, а затем сравним его с каждым из предложенных.

Преобразуем исходное выражение $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Теперь поочередно проверим каждое из предложенных выражений.

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Данное выражение полностью совпадает с выражением, полученным после преобразования исходной дроби. Следовательно, эти выражения равны.

$\frac{3}{2}$

Сравним $\frac{3}{2}$ с $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Так как знаменатели дробей равны, достаточно сравнить их числители: $3$ и $\sqrt{6}$. Возведем оба числа в квадрат: $3^2 = 9$, а $(\sqrt{6})^2 = 6$. Поскольку $9 > 6$, то и $3 > \sqrt{6}$. Значит, выражения не равны.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Преобразуем это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Теперь сравним его с $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Сравним числители: $3\sqrt{2}$ и $\sqrt{6}$. Возведем их в квадрат: $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$, а $(\sqrt{6})^2 = 6$. Так как $18 > 6$, то $3\sqrt{2} > \sqrt{6}$. Следовательно, выражения не равны.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Это выражение является обратным к исходному выражению $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, поэтому они не равны.

$\frac{3}{\sqrt{6}}$

Преобразуем это выражение. Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Полученное выражение равно $\frac{\sqrt{6}}{2}$, а значит, оно равно и исходному выражению.

Таким образом, исходному выражению $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ равны два из предложенных выражений: $\frac{\sqrt{6}}{2}$ и $\frac{3}{\sqrt{6}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$, $\frac{3}{\sqrt{6}}$.