Номер 2.142, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.142, страница 99.

Условие.

Примените равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ для преобразования выражений (2.142–2.143).

2.142 Упростите выражение:

а) $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$;

б) $\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}$;

в) $\sqrt{(1-\sqrt{5})^2}$;

г) $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$ применим основное тождество для квадратных корней $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$

Далее, чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения, стоящего под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $1$.

Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{3} > 1$.

Следовательно, разность $\sqrt{3}-1$ является положительным числом $(\sqrt{3}-1 > 0)$.

По определению модуля, если выражение неотрицательно, то его модуль равен самому выражению: $|a| = a$ при $a \geq 0$.

Таким образом, $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.

Ответ: $\sqrt{3}-1$.

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}$ применим тождество $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\sqrt{(2-\sqrt{7})^2} = |2-\sqrt{7}|$

Определим знак выражения под знаком модуля. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{7}$. Удобнее сравнивать их квадраты: $2^2=4$ и $(\sqrt{7})^2=7$.

Так как $4 < 7$, то и $2 < \sqrt{7}$.

Следовательно, разность $2-\sqrt{7}$ является отрицательным числом $(2-\sqrt{7} < 0)$.

По определению модуля, если выражение отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению: $|a| = -a$ при $a < 0$.

Таким образом, $|2-\sqrt{7}| = -(2-\sqrt{7}) = -2 + \sqrt{7} = \sqrt{7}-2$.

Ответ: $\sqrt{7}-2$.

в)

Для упрощения выражения $\sqrt{(1-\sqrt{5})^2}$ применим тождество $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\sqrt{(1-\sqrt{5})^2} = |1-\sqrt{5}|$

Определим знак выражения под знаком модуля. Сравним числа $1$ и $\sqrt{5}$, возведя их в квадрат: $1^2=1$ и $(\sqrt{5})^2=5$.

Так как $1 < 5$, то и $1 < \sqrt{5}$.

Следовательно, разность $1-\sqrt{5}$ является отрицательным числом $(1-\sqrt{5} < 0)$.

По определению модуля для отрицательных чисел, $|a| = -a$.

Таким образом, $|1-\sqrt{5}| = -(1-\sqrt{5}) = -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5}-1$.

Ответ: $\sqrt{5}-1$.

г)

Для упрощения выражения $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}$ применим тождество $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2} = |\sqrt{10}-3|$

Определим знак выражения под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $3$, сравнив их квадраты: $(\sqrt{10})^2=10$ и $3^2=9$.

Так как $10 > 9$, то и $\sqrt{10} > 3$.

Следовательно, разность $\sqrt{10}-3$ является положительным числом $(\sqrt{10}-3 > 0)$.

По определению модуля для неотрицательных чисел, $|a| = a$.

Таким образом, $|\sqrt{10}-3| = \sqrt{10}-3$.

Ответ: $\sqrt{10}-3$.