Номер 2.146, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.146, страница 100.

Условие.

2.146 Сократите дробь:

а) $\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}$;

б) $\frac{\sqrt{28}-2\sqrt{18}-2\sqrt{12}}{6\sqrt{32}+4\sqrt{48}-8\sqrt{7}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{3\sqrt{8} - 2\sqrt{12} + \sqrt{20}}{3\sqrt{18} - 2\sqrt{27} + \sqrt{45}}$, сначала упростим каждый член в числителе и знаменателе, вынося множители из-под знака корня.

Упростим числитель:

$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Таким образом, числитель равен: $6\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}$.

Упростим знаменатель:

$3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Таким образом, знаменатель равен: $9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}}{9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}}$

Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это 2, а в знаменателе 3.

$\frac{2(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{3(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})}$

Выражение в скобках $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})$ является общим для числителя и знаменателя, поэтому мы можем его сократить.

$\frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{18} - 2\sqrt{12}}{6\sqrt{32} + 4\sqrt{48} - 8\sqrt{7}}$, так же как и в предыдущем пункте, упростим каждый член.

Упростим числитель:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Таким образом, числитель равен: $2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$.

Упростим знаменатель:

$6\sqrt{32} = 6\sqrt{16 \cdot 2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

$4\sqrt{48} = 4\sqrt{16 \cdot 3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$

$8\sqrt{7}$

Таким образом, знаменатель равен: $24\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 8\sqrt{7}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{24\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 8\sqrt{7}}$

Вынесем общий множитель за скобки. В числителе можно вынести -2, чтобы получить выражение, похожее на знаменатель. В знаменателе вынесем 8.

Числитель: $2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3} = - (6\sqrt{2} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}) = -2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})$

Знаменатель: $24\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 8\sqrt{7} = 8(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})$

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{-2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{8(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Сократим общий множитель $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})$:

$\frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.