Номер 2.148, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.148, страница 100.

Условие.

2.148 a) $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}};$

б) $\sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}};$

в) $\frac{\sqrt{30-\sqrt{5}}}{5} \cdot \frac{\sqrt{30+\sqrt{5}}}{5};$

г) $\frac{\sqrt{3+\sqrt{15}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{15-\sqrt{3}}}{3}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

$\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: 1

б) Этот пример решается аналогично предыдущему. Используем свойство произведения корней и формулу разности квадратов.

$\sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} = \sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=4$ и $b=\sqrt{7}$.

$\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

в) Перемножим две дроби, умножив их числители и знаменатели.

$\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5} = \frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5 \cdot 5}$

Знаменатель равен $5 \cdot 5 = 25$.

Числитель упростим, используя свойство произведения корней и формулу разности квадратов. Пусть $a=\sqrt{30}$ и $b=\sqrt{5}$.

$\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5})} = \sqrt{(\sqrt{30})^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{30 - 5} = \sqrt{25} = 5$

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) Перемножим дроби.

$\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3} = \frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{2 \cdot 3}$

Знаменатель равен $2 \cdot 3 = 6$.

Для упрощения числителя заметим, что $\sqrt{3}+\sqrt{15} = \sqrt{15}+\sqrt{3}$. Теперь мы можем применить свойство произведения корней и формулу разности квадратов. Пусть $a=\sqrt{15}$ и $b=\sqrt{3}$.

$\sqrt{(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3})} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{15 - 3} = \sqrt{12}$

Упростим корень из 12:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Подставим полученные значения в исходную дробь:

$\frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$