Номер 2.151, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.151, страница 100.

Условие.

2.151 a) Выберите выражение, равное $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$.

1) $\sqrt{7} - 3$ 2) $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ 3) $3 - \sqrt{7}$

б) Выберите выражение, равное $\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$.

1) $\sqrt{6} - 2$ 2) $\sqrt{2} - \sqrt{6}$ 3) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$, представим подкоренное выражение $16 - 6\sqrt{7}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого необходимо, чтобы слагаемое с корнем соответствовало удвоенному произведению $-2ab$, а остальные слагаемые — сумме квадратов $a^2+b^2$.

Сравнивая $16 - 6\sqrt{7}$ с $a^2 - 2ab + b^2$, получаем систему уравнений:

$a^2 + b^2 = 16$

$2ab = 6\sqrt{7}$

Из второго уравнения находим $ab = 3\sqrt{7}$.

Подберем подходящие значения для $a$ и $b$. Если предположить, что $a=3$ и $b=\sqrt{7}$, то проверка показывает:

$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$. (Верно)

$ab = 3 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$. (Верно)

Таким образом, подкоренное выражение можно записать как квадрат разности:

$16 - 6\sqrt{7} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (3 - \sqrt{7})^2$.

Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$.

Для раскрытия модуля сравним числа $3$ и $\sqrt{7}$. Так как $3^2=9$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$. Следовательно, разность $3 - \sqrt{7}$ положительна, и модуль можно опустить.

$|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $3 - \sqrt{7}$.

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$, используем тот же метод — представим подкоренное выражение $8 - 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Преобразуем член $-4\sqrt{3}$ к виду $-2ab$. Для этого представим $4$ как $2 \cdot 2$ и внесем один из множителей под знак корня: $4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{12}$.

Теперь выражение имеет вид $\sqrt{8 - 2\sqrt{12}}$.

Ищем такие $a$ и $b$, для которых выполняются условия:

$a^2 + b^2 = 8$

$ab = \sqrt{12}$

Можно подобрать числа, сумма квадратов которых равна 8, а произведение квадратов равно $12$. Пусть $x=a^2$ и $y=b^2$. Тогда $x+y=8$ и $xy=12$. По теореме Виета, это корни уравнения $z^2 - 8z + 12 = 0$, которые равны $z_1=6$ и $z_2=2$.

Пусть $a^2=6$ и $b^2=2$. Тогда $a=\sqrt{6}$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим эти значения:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8$. (Верно)

$2ab = 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$. (Верно)

Следовательно, подкоренное выражение можно записать как:

$8 - 4\sqrt{3} = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{2}|$.

Для раскрытия модуля сравним числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt{2}$. Так как $6 > 2$, то $\sqrt{6} > \sqrt{2}$. Следовательно, разность $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ положительна.

$|\sqrt{6} - \sqrt{2}| = \sqrt{6} - \sqrt{2}$.

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$.