Номер 2.156, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.156, страница 101.

Условие.

2.156 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (примените результаты упражнения 2.155):

a) $ \frac{1}{2 + \sqrt{3}} $

б) $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} $

в) $ \frac{7 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} $

г) $ \frac{\sqrt{11} + \sqrt{5}}{\sqrt{11} - \sqrt{5}} $

д) $ \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - 3} $

e) $ \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3\sqrt{3}} $

Образец. $ \frac{2}{2 + \sqrt{6}} = \frac{2(2 - \sqrt{6})}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{2(2 - \sqrt{6})}{-2} = \sqrt{6} - 2. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $2 + \sqrt{3}$ является $2 - \sqrt{3}$.
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

б) Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ является $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3 + \sqrt{6}}{3 - 2} = \frac{3 + \sqrt{6}}{1} = 3 + \sqrt{6}$.
Ответ: $3 + \sqrt{6}$.

в) Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $3 + \sqrt{5}$ является $3 - \sqrt{5}$.
$\frac{7 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(7 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{7 \cdot 3 - 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{21 - 10\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{26 - 10\sqrt{5}}{4} = \frac{2(13 - 5\sqrt{5})}{4} = \frac{13 - 5\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{13 - 5\sqrt{5}}{2}$.

г) Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $\sqrt{11} - \sqrt{5}$ является $\sqrt{11} + \sqrt{5}$.
$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{5}}{\sqrt{11} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{5})(\sqrt{11} + \sqrt{5})}{(\sqrt{11} - \sqrt{5})(\sqrt{11} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{11 + 2\sqrt{55} + 5}{11 - 5} = \frac{16 + 2\sqrt{55}}{6} = \frac{2(8 + \sqrt{55})}{6} = \frac{8 + \sqrt{55}}{3}$.
Ответ: $\frac{8 + \sqrt{55}}{3}$.

д) Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $\sqrt{10} - 3$ является $\sqrt{10} + 3$.
$\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - 3} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)} = \frac{\sqrt{10} + 3 + \sqrt{30} + 3\sqrt{3}}{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = \frac{3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{10} + \sqrt{30}}{10 - 9} = 3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{10} + \sqrt{30}$.
Ответ: $3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{10} + \sqrt{30}$.

е) Перепишем знаменатель для удобства: $\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + \sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $3\sqrt{3} - \sqrt{2}$.
$\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{3} - \sqrt{2})(3\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(3\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{(3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{9 \cdot 3 - 2} = \frac{27 - 6\sqrt{6} + 2}{27 - 2} = \frac{29 - 6\sqrt{6}}{25}$.
Ответ: $\frac{29 - 6\sqrt{6}}{25}$.