Номер 2.160, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.160, страница 102.

Условие.

2.160 Упростите выражение:

a) $\sqrt{81a^2}$, если $a < 0$;

б) $\sqrt{24x^2}$, если $x > 0$;

в) $\sqrt{0.16a^2c^2}$, если $a < 0, c < 0$;

г) $\sqrt{8m^2n^2}$, если $m < 0, n > 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{81a^2}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

$\sqrt{81a^2} = \sqrt{(9a)^2} = |9a|$.

По условию $a < 0$, следовательно, выражение $9a$ также меньше нуля ($9a < 0$).

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то $|y| = -y$. В нашем случае $|9a| = -(9a) = -9a$.

Ответ: $-9a$

б)

Упростим выражение $\sqrt{24x^2}$. Сначала вынесем множитель из-под знака корня для числового коэффициента: $24 = 4 \cdot 6$.

$\sqrt{24x^2} = \sqrt{4 \cdot 6 \cdot x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{x^2} = 2\sqrt{6}|x|$.

По условию $x > 0$, значит, $|x| = x$.

Подставляя это в наше выражение, получаем $2\sqrt{6}x$ или, для более привычного порядка, $2x\sqrt{6}$.

Ответ: $2x\sqrt{6}$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{0,16a^2c^2}$.

Применим свойство корня: $\sqrt{0,16a^2c^2} = \sqrt{(0,4ac)^2} = |0,4ac|$.

По условию дано, что $a < 0$ и $c < 0$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, следовательно, $ac > 0$.

Тогда и выражение $0,4ac$ будет положительным ($0,4ac > 0$).

По определению модуля, для положительного числа $|y| = y$. Таким образом, $|0,4ac| = 0,4ac$.

Ответ: $0,4ac$

г)

Упростим выражение $\sqrt{8m^2n^2}$.

Разложим число 8 на множители: $8 = 4 \cdot 2$.

$\sqrt{8m^2n^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot m^2 \cdot n^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{2} = 2|m||n|\sqrt{2}$.

По условию $m < 0$ и $n > 0$. Исходя из определения модуля, поскольку $m < 0$, то $|m| = -m$. Поскольку $n > 0$, то $|n| = n$.

Подставим полученные значения в выражение: $2(-m)(n)\sqrt{2} = -2mn\sqrt{2}$.

Ответ: $-2mn\sqrt{2}$