Номер 2.154, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.154, страница 101.

Условие.

2.154 Найдите значение выражения:

a) $x(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ при $x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$;

б) $(m - 1)(m - 2)(m - 3)(m - 4)$ при $m = \frac{10 + \sqrt{2}}{4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы найти значение выражения $x(x+1)(x+2)(x+3)$ при $x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$, целесообразно сначала упростить выражение. Для этого сгруппируем множители следующим образом:

$x(x+1)(x+2)(x+3) = [x(x+3)][(x+1)(x+2)]$

Теперь раскроем скобки в каждой группе:

$x(x+3) = x^2 + 3x$
$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

Подставив полученные выражения обратно, получаем:

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$

Заметим, что в обеих скобках присутствует одинаковое выражение $x^2 + 3x$. Сделаем замену: пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда исходное выражение можно записать в виде $y(y+2)$.

Теперь найдем численное значение $y$, используя данное значение $x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$. Преобразуем это равенство, чтобы выразить $x^2 + 3x$:

$2x = \sqrt{5}-3$
$2x+3 = \sqrt{5}$

Возведем обе части последнего равенства в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(2x+3)^2 = (\sqrt{5})^2$
$4x^2 + 12x + 9 = 5$
$4x^2 + 12x = 5 - 9$
$4x^2 + 12x = -4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 + 3x = -1$

Следовательно, значение нашей замены $y = -1$. Подставим это значение в упрощенное выражение $y(y+2)$:

$(-1)(-1+2) = (-1)(1) = -1$

Ответ: -1

б)

Чтобы найти значение выражения $(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)$ при $m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$, воспользуемся аналогичным подходом. Сначала преобразуем выражение, сгруппировав множители:

$[(m-1)(m-4)][(m-2)(m-3)]$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(m-1)(m-4) = m^2 - 4m - m + 4 = m^2 - 5m + 4$
$(m-2)(m-3) = m^2 - 3m - 2m + 6 = m^2 - 5m + 6$

Таким образом, исходное выражение равно:

$(m^2 - 5m + 4)(m^2 - 5m + 6)$

Сделаем замену: пусть $z = m^2 - 5m$. Тогда выражение принимает вид $(z+4)(z+6)$.

Теперь найдем численное значение $z$ из данного значения $m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$:

$4m = 10+\sqrt{2}$
$4m-10 = \sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(4m-10)^2 = (\sqrt{2})^2$
$16m^2 - 80m + 100 = 2$
$16m^2 - 80m = 2 - 100$
$16m^2 - 80m = -98$

Разделим обе части на 16, чтобы получить $m^2 - 5m$:

$m^2 - 5m = -\frac{98}{16} = -\frac{49}{8}$

Итак, мы нашли, что $z = -\frac{49}{8}$. Подставим это значение в выражение $(z+4)(z+6)$:

$\left(-\frac{49}{8} + 4\right)\left(-\frac{49}{8} + 6\right) = \left(-\frac{49}{8} + \frac{32}{8}\right)\left(-\frac{49}{8} + \frac{48}{8}\right) = \left(\frac{-17}{8}\right)\left(\frac{-1}{8}\right) = \frac{17}{64}$

Ответ: $\frac{17}{64}$