Номер 2.150, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.150, страница 100.

Условие.

2.150 Упростите:

а) $(\sqrt{10 - \sqrt{19}} + \sqrt{10 + \sqrt{19}})^2$;

б) $(\sqrt{2\sqrt{5} + 4} - \sqrt{2\sqrt{5} - 4})^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(\sqrt{10-\sqrt{19}} + \sqrt{10+\sqrt{19}})^2$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{10-\sqrt{19}}$ и $b = \sqrt{10+\sqrt{19}}$.

Найдем квадраты этих слагаемых:

$a^2 = (\sqrt{10-\sqrt{19}})^2 = 10-\sqrt{19}$

$b^2 = (\sqrt{10+\sqrt{19}})^2 = 10+\sqrt{19}$

Теперь найдем удвоенное произведение слагаемых:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{10-\sqrt{19}} \cdot \sqrt{10+\sqrt{19}} = 2 \cdot \sqrt{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}$

Выражение под корнем является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18$.

Теперь сложим все полученные части:

$(\sqrt{10-\sqrt{19}} + \sqrt{10+\sqrt{19}})^2 = a^2 + b^2 + 2ab = (10-\sqrt{19}) + (10+\sqrt{19}) + 18$

$10 - \sqrt{19} + 10 + \sqrt{19} + 18 = 20 + 18 = 38$.

Ответ: $38$

б) $(\sqrt{2\sqrt{5}+4} - \sqrt{2\sqrt{5}-4})^2$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{2\sqrt{5}+4}$ и $b = \sqrt{2\sqrt{5}-4}$.

Заметим, что подкоренные выражения положительны, так как $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$, а $4 = \sqrt{16}$, поэтому $2\sqrt{5} > 4$.

Найдем квадраты этих слагаемых:

$a^2 = (\sqrt{2\sqrt{5}+4})^2 = 2\sqrt{5}+4$

$b^2 = (\sqrt{2\sqrt{5}-4})^2 = 2\sqrt{5}-4$

Теперь найдем удвоенное произведение слагаемых:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{2\sqrt{5}+4} \cdot \sqrt{2\sqrt{5}-4} = 2 \cdot \sqrt{(2\sqrt{5}+4)(2\sqrt{5}-4)}$

Выражение под корнем является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$(2\sqrt{5}+4)(2\sqrt{5}-4) = (2\sqrt{5})^2 - 4^2 = (4 \cdot 5) - 16 = 20 - 16 = 4$.

Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Теперь подставим все полученные части в формулу квадрата разности:

$(\sqrt{2\sqrt{5}+4} - \sqrt{2\sqrt{5}-4})^2 = a^2 + b^2 - 2ab = (2\sqrt{5}+4) + (2\sqrt{5}-4) - 4$

$2\sqrt{5} + 4 + 2\sqrt{5} - 4 - 4 = 4\sqrt{5} - 4$.

Ответ: $4\sqrt{5}-4$