Номер 2.162, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.162, страница 102.

Условие.

2.162 Упростите выражение, если $n$ — целое число:

а) $\sqrt{5^{2n}}$;

б) $\sqrt{y^{4n}}$;

в) $\sqrt{x^{2n}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{5^{2n}}$ воспользуемся свойством степени $(a^m)^k = a^{mk}$ и свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $5^{2n} = (5^n)^2$.

Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{5^{2n}} = \sqrt{(5^n)^2}$.

Применяя свойство квадратного корня, получаем: $\sqrt{(5^n)^2} = |5^n|$.

Так как основание степени $5$ является положительным числом, то для любого целого числа $n$ значение выражения $5^n$ будет положительным ($5^n > 0$). Следовательно, знак модуля можно опустить. $|5^n| = 5^n$.

Ответ: $5^n$

---

б)

Упростим выражение $\sqrt{y^{4n}}$. Область определения выражения: $y^{4n} \ge 0$. Поскольку $n$ — целое число, то $4n$ — четное число (или 0 при $n=0$), поэтому $y^{4n} = (y^{2n})^2 \ge 0$ для любого действительного $y$ (при $n<0$, $y \ne 0$).

Представим подкоренное выражение в виде квадрата, используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$: $y^{4n} = y^{2 \cdot 2n} = (y^{2n})^2$.

Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{y^{4n}} = \sqrt{(y^{2n})^2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(y^{2n})^2} = |y^{2n}|$.

Поскольку $n$ — целое число, показатель степени $2n$ всегда является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным ($y^{2n} \ge 0$). Поэтому знак модуля можно убрать. $|y^{2n}| = y^{2n}$.

Ответ: $y^{2n}$

---

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{2n}}$. Область определения: $x^{2n} \ge 0$. Так как $2n$ — четное число (поскольку $n$ целое), это неравенство выполняется для любого действительного $x$ (при $n \le 0$, $x \ne 0$).

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $x^{2n} = (x^n)^2$.

Тогда выражение под корнем можно переписать: $\sqrt{x^{2n}} = \sqrt{(x^n)^2}$.

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(x^n)^2} = |x^n|$.

В этом случае мы не можем убрать модуль, так как знак выражения $x^n$ зависит от знака $x$ и от четности или нечетности целого числа $n$. Например, если $x = -2$ и $n = 3$ (нечетное), то $x^n = (-2)^3 = -8$, и $|x^n| = |-8| = 8$. Если же убрать модуль, то получится $-8$, что неверно. Если $n$ — четное число, то $x^n \ge 0$ и $|x^n| = x^n$. Если $n$ — нечетное число, то знак $x^n$ совпадает со знаком $x$, и модуль необходим для $x<0$. Поскольку в условии не дано дополнительных сведений о $n$ или $x$, выражение $|x^n|$ является окончательным упрощением.

Ответ: $|x^n|$