Номер 2.162, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый

ISBN: 978-5-09-106180-2

Популярные ГДЗ в 8 классе

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.162, страница 102.

№2.162 (с. 102)
Условие. №2.162 (с. 102)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 102, номер 2.162, Условие

2.162 Упростите выражение, если $n$ — целое число:

а) $\sqrt{5^{2n}}$;

б) $\sqrt{y^{4n}}$;

в) $\sqrt{x^{2n}}$.

Решение 2. №2.162 (с. 102)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 102, номер 2.162, Решение 2 Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 102, номер 2.162, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 102, номер 2.162, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №2.162 (с. 102)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 102, номер 2.162, Решение 3
Решение 4. №2.162 (с. 102)

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{5^{2n}}$ воспользуемся свойством степени $(a^m)^k = a^{mk}$ и свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $5^{2n} = (5^n)^2$.

Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{5^{2n}} = \sqrt{(5^n)^2}$.

Применяя свойство квадратного корня, получаем: $\sqrt{(5^n)^2} = |5^n|$.

Так как основание степени $5$ является положительным числом, то для любого целого числа $n$ значение выражения $5^n$ будет положительным ($5^n > 0$). Следовательно, знак модуля можно опустить. $|5^n| = 5^n$.

Ответ: $5^n$


б)

Упростим выражение $\sqrt{y^{4n}}$. Область определения выражения: $y^{4n} \ge 0$. Поскольку $n$ — целое число, то $4n$ — четное число (или 0 при $n=0$), поэтому $y^{4n} = (y^{2n})^2 \ge 0$ для любого действительного $y$ (при $n<0$, $y \ne 0$).

Представим подкоренное выражение в виде квадрата, используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$: $y^{4n} = y^{2 \cdot 2n} = (y^{2n})^2$.

Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{y^{4n}} = \sqrt{(y^{2n})^2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(y^{2n})^2} = |y^{2n}|$.

Поскольку $n$ — целое число, показатель степени $2n$ всегда является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным ($y^{2n} \ge 0$). Поэтому знак модуля можно убрать. $|y^{2n}| = y^{2n}$.

Ответ: $y^{2n}$


в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{2n}}$. Область определения: $x^{2n} \ge 0$. Так как $2n$ — четное число (поскольку $n$ целое), это неравенство выполняется для любого действительного $x$ (при $n \le 0$, $x \ne 0$).

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $x^{2n} = (x^n)^2$.

Тогда выражение под корнем можно переписать: $\sqrt{x^{2n}} = \sqrt{(x^n)^2}$.

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(x^n)^2} = |x^n|$.

В этом случае мы не можем убрать модуль, так как знак выражения $x^n$ зависит от знака $x$ и от четности или нечетности целого числа $n$. Например, если $x = -2$ и $n = 3$ (нечетное), то $x^n = (-2)^3 = -8$, и $|x^n| = |-8| = 8$. Если же убрать модуль, то получится $-8$, что неверно. Если $n$ — четное число, то $x^n \ge 0$ и $|x^n| = x^n$. Если $n$ — нечетное число, то знак $x^n$ совпадает со знаком $x$, и модуль необходим для $x<0$. Поскольку в условии не дано дополнительных сведений о $n$ или $x$, выражение $|x^n|$ является окончательным упрощением.

Ответ: $|x^n|$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 2.162 расположенного на странице 102 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.162 (с. 102), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.