Номер 2.136, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.136, страница 98.

Условие.

2.136 Найдите значения выражений $\frac{xy}{x+y}$ и $\frac{x-y}{xy}$ при:

a) $x = \sqrt{2}, y = \sqrt{8};$

б) $x = 2 - \sqrt{3}, y = 2 + \sqrt{3};$

в) $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}, y = \sqrt{6} + \sqrt{3};$

г) $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}, y = \sqrt{5} - \sqrt{2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) При $x = \sqrt{2}$, $y = \sqrt{8}$.

Сначала упростим значение $y$: $y = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Для нахождения значений выражений нам понадобятся значения суммы $x+y$, разности $x-y$ и произведения $xy$.

$x+y = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

$x-y = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$

$xy = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$

Теперь подставим эти значения в исходные выражения:

1. Для выражения $\frac{xy}{x+y}$ получаем: $\frac{4}{3\sqrt{2}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

2. Для выражения $\frac{x-y}{xy}$ получаем: $\frac{-\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

б) При $x = 2 - \sqrt{3}$, $y = 2 + \sqrt{3}$.

Найдем значения $x+y$, $x-y$ и $xy$. В данном случае $x$ и $y$ являются сопряженными числами, что упрощает вычисления.

$x+y = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.

$x-y = (2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.

$xy = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$ (по формуле разности квадратов).

Подставим найденные значения в выражения:

1. Для выражения $\frac{xy}{x+y}$ получаем: $\frac{1}{4}$.

2. Для выражения $\frac{x-y}{xy}$ получаем: $\frac{-2\sqrt{3}}{1} = -2\sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$ и $-2\sqrt{3}$.

в) При $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}$, $y = \sqrt{6} + \sqrt{3}$.

Найдем значения $x+y$, $x-y$ и $xy$. $x$ и $y$ снова являются сопряженными.

$x+y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) + (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$.

$x-y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) - (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = \sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.

$xy = (\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$.

Подставим найденные значения в выражения:

1. Для выражения $\frac{xy}{x+y}$ получаем: $\frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

2. Для выражения $\frac{x-y}{xy}$ получаем: $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$ и $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

г) При $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$.

Найдем значения $x+y$, $x-y$ и $xy$. $x$ и $y$ являются сопряженными.

$x+y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{5}$.

$x-y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

$xy = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$.

Подставим найденные значения в выражения:

1. Для выражения $\frac{xy}{x+y}$ получаем: $\frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$.

2. Для выражения $\frac{x-y}{xy}$ получаем: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{5}}{10}$ и $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.