Номер 2.133, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.133, страница 98.

Условие.

2.133 а) $(1 - \sqrt{5})^2$;

б) $(\sqrt{10} - 2)^2$;

в) $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$;

г) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2$;

д) $(5 - \sqrt{5})^2 + 5\sqrt{5}$;

е) $(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2 - 17.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы раскрыть скобки, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном выражении $a = 1$, а $b = \sqrt{5}$.
$(1 - \sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5$.
Складываем числовые слагаемые: $1 + 5 = 6$.
Таким образом, получаем: $6 - 2\sqrt{5}$.
Ответ: $6 - 2\sqrt{5}$.

б) Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{10}$ и $b = 2$.
$(\sqrt{10} - 2)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2 + 2^2 = 10 - 4\sqrt{10} + 4$.
Складываем целые числа: $10 + 4 = 14$.
Итоговый результат: $14 - 4\sqrt{10}$.
Ответ: $14 - 4\sqrt{10}$.

в) Раскрываем скобки по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{5}$.
$(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{3 \cdot 5} + 5 = 3 - 2\sqrt{15} + 5$.
Складываем числовые слагаемые: $3 + 5 = 8$.
Получаем выражение: $8 - 2\sqrt{15}$.
Ответ: $8 - 2\sqrt{15}$.

г) Для решения используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 2} + 2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2$.
Складываем целые числа: $7 + 2 = 9$.
В результате получаем: $9 + 2\sqrt{14}$.
Ответ: $9 + 2\sqrt{14}$.

д) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5$ и $b = \sqrt{5}$.
$(5 - \sqrt{5})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 25 - 10\sqrt{5} + 5 = 30 - 10\sqrt{5}$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное: $(30 - 10\sqrt{5}) + 5\sqrt{5}$.
Приводим подобные слагаемые: $30 - 10\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 30 - 5\sqrt{5}$.
Ответ: $30 - 5\sqrt{5}$.

е) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{6}$.
$(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 11 + 2\sqrt{66} + 6 = 17 + 2\sqrt{66}$.
Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним вычитание:
$(17 + 2\sqrt{66}) - 17 = 17 - 17 + 2\sqrt{66} = 2\sqrt{66}$.
Ответ: $2\sqrt{66}$.