Номер 4, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 97.

Условие.

Разберите фрагмент 3. Докажите самостоятельно, что при любом значении переменной верно равенство $\sqrt{x^2} = |x|$. Упростите выражение: $\sqrt{17^2}$, $\sqrt{(-3.2)^2}$, $\sqrt{c^2}$, где $c > 0$; $\sqrt{a^2}$, где $a < 0$.

Решение 4.

Доказательство равенства $\sqrt{x^2} = |x|$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{b}$) из неотрицательного числа $b$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $b$.

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^2}$. Подкоренное выражение $x^2$ всегда является неотрицательным ($x^2 \ge 0$) при любом действительном значении $x$. Следовательно, корень $\sqrt{x^2}$ всегда существует, и его значение по определению также должно быть неотрицательным.

Проанализируем два возможных случая для переменной $x$:
1. Если $x \ge 0$ (то есть $x$ — неотрицательное число).
В этом случае числом, которое является неотрицательным и в квадрате дает $x^2$, является само число $x$. Таким образом, по определению корня, $\sqrt{x^2} = x$. По определению модуля для неотрицательных чисел, $|x| = x$. Следовательно, при $x \ge 0$ равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ верно.
2. Если $x < 0$ (то есть $x$ — отрицательное число).
В этом случае число $x$ отрицательно. Нам нужно найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. Этим числом будет $-x$, так как если $x < 0$, то $-x > 0$, и $(-x)^2 = x^2$. Таким образом, по определению корня, $\sqrt{x^2} = -x$. По определению модуля для отрицательных чисел, $|x| = -x$. Следовательно, при $x < 0$ равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ также верно.

Поскольку равенство выполняется для всех $x \ge 0$ и для всех $x < 0$, оно верно для любого значения переменной $x$.

Упрощение выражений

Для упрощения выражений воспользуемся доказанным тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$.

$\sqrt{17^2}$
Применяем тождество, где в роли $x$ выступает число 17. Так как $17 > 0$, то по определению модуля $|17| = 17$.
$\sqrt{17^2} = |17| = 17$.
Ответ: 17.

$\sqrt{(-3,2)^2}$
Здесь $x = -3,2$. Так как $-3,2 < 0$, то по определению модуля для отрицательного числа $|-3,2| = -(-3,2) = 3,2$.
$\sqrt{(-3,2)^2} = |-3,2| = 3,2$.
Ответ: 3,2.

$\sqrt{c^2}$, где $c > 0$
Здесь $x = c$. Согласно условию, переменная $c$ принимает положительные значения ($c > 0$).
Следовательно, по определению модуля $|c| = c$.
$\sqrt{c^2} = |c| = c$.
Ответ: $c$.

$\sqrt{a^2}$, где $a < 0$
Здесь $x = a$. Согласно условию, переменная $a$ принимает отрицательные значения ($a < 0$).
Следовательно, по определению модуля для отрицательного числа $|a| = -a$. (Результат $-a$ является положительным числом, так как $a$ — отрицательное).
$\sqrt{a^2} = |a| = -a$.
Ответ: $-a$.