Номер 2.21, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Задача о нахождении стороны квадрата. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.21, страница 66.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (2.21–2.22)

2.21 Упростите:

а) $\sqrt{2^{1000}}$; б) $\sqrt{3^{-50}}$; в) $\sqrt{7^{500}}$; г) $\sqrt{5^{-100}}$.

Образец. $\sqrt{15^{40}} = \sqrt{(15^{20})^2} = 15^{20}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $ \sqrt{2^{1000}} $ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2} = a $ (для $ a \ge 0 $) и свойством степени $ a^{mn} = (a^m)^n $.
Сначала представим подкоренное выражение $ 2^{1000} $ в виде квадрата некоторого числа. Поскольку показатель степени $ 1000 = 500 \cdot 2 $, мы можем записать:
$ 2^{1000} = 2^{500 \cdot 2} = (2^{500})^2 $.
Теперь подставим это в исходное выражение и извлечем корень:
$ \sqrt{2^{1000}} = \sqrt{(2^{500})^2} $.
Так как основание степени $ 2^{500} $ является положительным числом, то $ \sqrt{(2^{500})^2} = 2^{500} $.
Альтернативный способ заключается в использовании свойства степени с дробным показателем $ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $. Для квадратного корня $ n=2 $:
$ \sqrt{2^{1000}} = 2^{\frac{1000}{2}} = 2^{500} $.
Ответ: $ 2^{500} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{3^{-50}} $. Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.
Представим показатель степени $ -50 $ как произведение $ -25 \cdot 2 $:
$ 3^{-50} = 3^{-25 \cdot 2} = (3^{-25})^2 $.
Подставим полученное выражение под знак корня:
$ \sqrt{3^{-50}} = \sqrt{(3^{-25})^2} $.
Основание степени $ 3^{-25} $ равно $ \frac{1}{3^{25}} $, что является положительным числом. Следовательно, упрощаем корень:
$ \sqrt{(3^{-25})^2} = 3^{-25} $.
Используя второй способ со степенью $ 1/2 $:
$ \sqrt{3^{-50}} = 3^{\frac{-50}{2}} = 3^{-25} $.
Ответ: $ 3^{-25} $

в) Упростим выражение $ \sqrt{7^{500}} $.
Представим показатель степени $ 500 $ как произведение $ 250 \cdot 2 $:
$ 7^{500} = 7^{250 \cdot 2} = (7^{250})^2 $.
Подставляем и извлекаем корень:
$ \sqrt{7^{500}} = \sqrt{(7^{250})^2} $.
Основание степени $ 7^{250} $ — положительное число, поэтому:
$ \sqrt{(7^{250})^2} = 7^{250} $.
Используя второй способ:
$ \sqrt{7^{500}} = 7^{\frac{500}{2}} = 7^{250} $.
Ответ: $ 7^{250} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{5^{-100}} $.
Представим показатель степени $ -100 $ как произведение $ -50 \cdot 2 $:
$ 5^{-100} = 5^{-50 \cdot 2} = (5^{-50})^2 $.
Подставим в выражение под корнем:
$ \sqrt{5^{-100}} = \sqrt{(5^{-50})^2} $.
Основание степени $ 5^{-50} $ равно $ \frac{1}{5^{50}} $, что является положительным числом. Значит:
$ \sqrt{(5^{-50})^2} = 5^{-50} $.
Используя второй способ:
$ \sqrt{5^{-100}} = 5^{\frac{-100}{2}} = 5^{-50} $.
Ответ: $ 5^{-50} $