Номер 4, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 70.

Условие.

Найдите в тексте неравенства, дающие оценку $\sqrt{42}$ с недостатком и с избытком (фрагмент 2). Запишите десятичные приближения этого числа с одним, двумя, тремя и четырьмя знаками после запятой.

Решение 4.

Поскольку "фрагмент 2", на который ссылается задание, отсутствует, мы проведем вычисления для нахождения неравенств самостоятельно. Этот процесс заключается в последовательном подборе чисел, квадраты которых "зажимают" число 42.

Найдите в тексте неравенства, дающие оценку $\sqrt{42}$ с недостатком и с избытком (фрагмент 2).

1. Оценка с точностью до целых.
Найдем два последовательных целых числа, между квадратами которых находится число 42. $6^2 = 36$
$7^2 = 49$
Так как $36 < 42 < 49$, то $\sqrt{36} < \sqrt{42} < \sqrt{49}$, следовательно, получаем первое неравенство:
$6 < \sqrt{42} < 7$.

2. Оценка с точностью до десятых.
Будем подбирать числа от 6,1 до 6,9.
$6,4^2 = 40,96$
$6,5^2 = 42,25$
Так как $40,96 < 42 < 42,25$, то $\sqrt{40,96} < \sqrt{42} < \sqrt{42,25}$, следовательно:
$6,4 < \sqrt{42} < 6,5$.

3. Оценка с точностью до сотых.
Будем подбирать числа от 6,41 до 6,49.
$6,48^2 = 41,9904$
$6,49^2 = 42,1201$
Так как $41,9904 < 42 < 42,1201$, то $\sqrt{41,9904} < \sqrt{42} < \sqrt{42,1201}$, следовательно:
$6,48 < \sqrt{42} < 6,49$.

4. Оценка с точностью до тысячных.
Будем подбирать числа от 6,481 до 6,489.
$6,480^2 = 41,9904$
$6,481^2 = 42,003441$
Так как $41,9904 < 42 < 42,003441$, то $\sqrt{41,9904} < \sqrt{42} < \sqrt{42,003441}$, следовательно:
$6,480 < \sqrt{42} < 6,481$.

5. Оценка с точностью до десятитысячных.
Будем подбирать числа от 6,4801 до 6,4809.
$6,4807^2 \approx 41,99951$
$6,4808^2 \approx 42,00080$
Так как $41,99951 < 42 < 42,00080$, то $\sqrt{41,99951} < \sqrt{42} < \sqrt{42,00080}$, следовательно:
$6,4807 < \sqrt{42} < 6,4808$.

Ответ: $6 < \sqrt{42} < 7$; $6,4 < \sqrt{42} < 6,5$; $6,48 < \sqrt{42} < 6,49$; $6,480 < \sqrt{42} < 6,481$; $6,4807 < \sqrt{42} < 6,4808$.

Запишите десятичные приближения этого числа с одним, двумя, тремя и четырьмя знаками после запятой.

Из полученных выше неравенств мы можем записать десятичные приближения числа $\sqrt{42}$ с недостатком (то есть, беря левую границу каждого неравенства).

• Из неравенства $6,4 < \sqrt{42} < 6,5$ следует, что приближение с одним знаком после запятой (с недостатком) равно 6,4.
  $\sqrt{42} \approx 6,4$

• Из неравенства $6,48 < \sqrt{42} < 6,49$ следует, что приближение с двумя знаками после запятой (с недостатком) равно 6,48.
  $\sqrt{42} \approx 6,48$

• Из неравенства $6,480 < \sqrt{42} < 6,481$ следует, что приближение с тремя знаками после запятой (с недостатком) равно 6,480.
  $\sqrt{42} \approx 6,480$

• Из неравенства $6,4807 < \sqrt{42} < 6,4808$ следует, что приближение с четырьмя знаками после запятой (с недостатком) равно 6,4807.
  $\sqrt{42} \approx 6,4807$

Ответ: 6,4; 6,48; 6,480; 6,4807.