Номер 2.24, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.24, страница 70.

Условие.

2.24 а) Квадратом какого положительного числа является число: 4; 8; 25; 29; $a$ ($a > 0$)?

б) Представьте в виде квадрата некоторого числа все натуральные числа от 11 до 20.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти, квадратом какого положительного числа является заданное число, нужно извлечь из него арифметический квадратный корень. Арифметический квадратный корень из числа $y$ — это такое неотрицательное число $x$, что $x^2 = y$. По условию, мы ищем положительное число, что совпадает с определением для положительных $y$.

• Для числа 4: ищем $x > 0$ такое, что $x^2 = 4$. Решением является $x = \sqrt{4} = 2$.

• Для числа 8: ищем $x > 0$ такое, что $x^2 = 8$. Решением является $x = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

• Для числа 25: ищем $x > 0$ такое, что $x^2 = 25$. Решением является $x = \sqrt{25} = 5$.

• Для числа 29: ищем $x > 0$ такое, что $x^2 = 29$. Решением является $x = \sqrt{29}$.

• Для числа $a$ (при $a > 0$): ищем $x > 0$ такое, что $x^2 = a$. Решением является $x = \sqrt{a}$.

Ответ: 2; $2\sqrt{2}$; 5; $\sqrt{29}$; $\sqrt{a}$.

б) Чтобы представить натуральное число $n$ в виде квадрата некоторого числа, нужно использовать тождество $n = (\sqrt{n})^2$. Применим это для всех натуральных чисел от 11 до 20, упрощая корень, где это возможно.

• $11 = (\sqrt{11})^2$

• $12 = (\sqrt{12})^2 = (\sqrt{4 \cdot 3})^2 = (2\sqrt{3})^2$

• $13 = (\sqrt{13})^2$

• $14 = (\sqrt{14})^2$

• $15 = (\sqrt{15})^2$

• $16 = (\sqrt{16})^2 = 4^2$

• $17 = (\sqrt{17})^2$

• $18 = (\sqrt{18})^2 = (\sqrt{9 \cdot 2})^2 = (3\sqrt{2})^2$

• $19 = (\sqrt{19})^2$

• $20 = (\sqrt{20})^2 = (\sqrt{4 \cdot 5})^2 = (2\sqrt{5})^2$

Ответ: $11 = (\sqrt{11})^2$; $12 = (2\sqrt{3})^2$; $13 = (\sqrt{13})^2$; $14 = (\sqrt{14})^2$; $15 = (\sqrt{15})^2$; $16 = 4^2$; $17 = (\sqrt{17})^2$; $18 = (3\sqrt{2})^2$; $19 = (\sqrt{19})^2$; $20 = (2\sqrt{5})^2$.